1-) simplifique as fracções seguintes:
a) (n-1)!-(n-2)!/n!
b) Pn+1-Pn/n!
c) (n+2)!=72•n!
d) n!/(n-4)!
Soluções para a tarefa
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8
Vamos lá.
Veja, Estudosa, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para simplificar as seguintes expressões envolvendo fatorial (note que vamos resolver apenas as questões "a", "c" e "d",pois a questão "b" não está clara. Depois você esclarece a questão "b", colocando-a em outra mensagem, mas escrevendo-a exatamente como ela estaria na fonte de onde você a tirou, ok?). E vamos chamar cada uma das questões de um certo "y" apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:
a)
y = [(n-1)! - (n-2)!]/ n!
Veja: vamos desenvolver (n-1)! e n! até (n-2)!. Fazendo isso, teremos:
y = [(n-1)*(n-2)! - (n-2)!]/n*(n-1)*(n-2)!
Agora colocaremos, no numerador, o fator (n-2)! em evidência. Assim, fazendo isso, teremos:
y = (n-2)!*[(n-1) - 1] / n*(n-1)*(n-2)! ---- simplificando-se (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador, iremos ficar apenas com:
y = [(n-1) - 1] / n*(n-1) ----- desenvolvendo o numerador e o denominador, teremos:
y = [n - 1 - 1] / n*(n-1) ---- continuando o desenvolvimento, temos:
y = (n-2) / n*(n-1) <---- Se quiser, poderá deixar a resposta do item "a" desta forma. Mas se quiser multiplicar, no denominador, o "n" por "(n-1)", ficará assim, o que é equivalente:
y = (n-2)/(n²-n) <--- A resposta do item "a" também poderia ficar desta forma.
b) A questão da letra "b" fica para outra mensagem, quando você colocá-la exatamente como ela deverá estar escrita na sua fonte.
c)
(n+2)! = 72*n!
Aqui vamos desenvolver (n+2)! até n! . Assim, fazendo isso, teremos:
(n+2)*(n+1)*n! = 72*n! --- note que poderemos dividir ambos os membros por n! com o que iremos ficar apenas com:
(n+2)*(n+1) = 72 ----- desenvolvendo o 1º membro, teremos:
n²+3n+2 = 72 ---- passando "72" para o 1º membro, teremos:
n² + 3n + 2 - 72 = 0 ----- continuando, ficamos:
n² + 3n - 70 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:
n' = -10
n'' = 7.
Agora note que a raiz n = -10 deverá ser descartada, pois se você substituir "n" por "-10" irá encontrar valores negativos e não há fatorial de números negativos. Assim, teremos que a única raiz válida será:
n = 7 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".
d)
y = n!/(n-4)!
Veja: no numerador vamos desenvolver n! até (n-4)!. Fazendo isso, teremos:
y = [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)!] / (n-4)! ---- simplificando-se (n-4)! do numerador com (n-4)! do denominador, iremos ficar apenas com:
y = n*(n-1)*(n-2)*(n-3) <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Estudosa, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para simplificar as seguintes expressões envolvendo fatorial (note que vamos resolver apenas as questões "a", "c" e "d",pois a questão "b" não está clara. Depois você esclarece a questão "b", colocando-a em outra mensagem, mas escrevendo-a exatamente como ela estaria na fonte de onde você a tirou, ok?). E vamos chamar cada uma das questões de um certo "y" apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:
a)
y = [(n-1)! - (n-2)!]/ n!
Veja: vamos desenvolver (n-1)! e n! até (n-2)!. Fazendo isso, teremos:
y = [(n-1)*(n-2)! - (n-2)!]/n*(n-1)*(n-2)!
Agora colocaremos, no numerador, o fator (n-2)! em evidência. Assim, fazendo isso, teremos:
y = (n-2)!*[(n-1) - 1] / n*(n-1)*(n-2)! ---- simplificando-se (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador, iremos ficar apenas com:
y = [(n-1) - 1] / n*(n-1) ----- desenvolvendo o numerador e o denominador, teremos:
y = [n - 1 - 1] / n*(n-1) ---- continuando o desenvolvimento, temos:
y = (n-2) / n*(n-1) <---- Se quiser, poderá deixar a resposta do item "a" desta forma. Mas se quiser multiplicar, no denominador, o "n" por "(n-1)", ficará assim, o que é equivalente:
y = (n-2)/(n²-n) <--- A resposta do item "a" também poderia ficar desta forma.
b) A questão da letra "b" fica para outra mensagem, quando você colocá-la exatamente como ela deverá estar escrita na sua fonte.
c)
(n+2)! = 72*n!
Aqui vamos desenvolver (n+2)! até n! . Assim, fazendo isso, teremos:
(n+2)*(n+1)*n! = 72*n! --- note que poderemos dividir ambos os membros por n! com o que iremos ficar apenas com:
(n+2)*(n+1) = 72 ----- desenvolvendo o 1º membro, teremos:
n²+3n+2 = 72 ---- passando "72" para o 1º membro, teremos:
n² + 3n + 2 - 72 = 0 ----- continuando, ficamos:
n² + 3n - 70 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:
n' = -10
n'' = 7.
Agora note que a raiz n = -10 deverá ser descartada, pois se você substituir "n" por "-10" irá encontrar valores negativos e não há fatorial de números negativos. Assim, teremos que a única raiz válida será:
n = 7 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".
d)
y = n!/(n-4)!
Veja: no numerador vamos desenvolver n! até (n-4)!. Fazendo isso, teremos:
y = [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)!] / (n-4)! ---- simplificando-se (n-4)! do numerador com (n-4)! do denominador, iremos ficar apenas com:
y = n*(n-1)*(n-2)*(n-3) <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Disponha, Paulovittor. Um cordial abraço.
Disponha, NiveaEloysa. Um cordial abraço.
E aí, Estudosa, era isso mesmo o que você estava esperando?
sim isto mesmo. muito bem esclarecido.
tudo esclarecido+ tenho um duvida depois de por em evidência (n-2)!*(n-1)-1/n*(n-1)*(n-2) onde encontramos esse -1 si ai tem (n-1)!
peço mi resolver essa dúvida.
Veja, Estudosa, que a razão é simples. Você está falando da questão do item "a", que é esta: y = [(n-1)! - (n-2)!]/ n! ----> Depois desenvolvemos (n-1)! e n! até (n-2)!. Aí ficou assim: y = [(n-1)*(n-2)! - (n-2)!]/n*(n-1)*(n-2)! -----> Depois disso, colocamos (n-2)! em evidência e ficou assim:
Continuando.... y = (n-2)!*[(n-1) - 1] / n*(n-1)*(n-2)! ---> É aqui a sua dúvida: veja que o termo que está em evidência (n-2)! é dividido por cada termo que está dentro dos colchetes. E dentro dos colchetes havia um (n-2)! que, quando dividido por (n-2)! em evidência ficou "1", ok? Por isso é que esta expressão, após havermos colocado o (n-2)! em evidência, ficou assim: y = (n-2) / n*(n-1). Deu pra entender bem?
ok bem recebido muito obrigada
Disponha, Estudosa. Continue a dispor e um cordial abraço.
Respondido por
6
Boa tarde
a) ((n - 1)! - (n - 2)!)/n!
= (n - 1)!/n! - (n - 2)!/n!
= (n - 1)!/(n*(n - 1)! - (n - 2)!/(n*(n - 1)*(n - 2)!)
= 1/n - 1/(n*(n - 1) = (n - 1)/(n*(n - 1) - 1/(n*(n - 1))
= (n - 2)/(n² - n)
b) (Pn+1 - Pn)/n!
= (n + 1)!/n! - n!/n!
= n + 1 - 1 = n
c) (n + 2)! = 72•n!
(n + 2)*(n + 1) = 72
9 * 8 = 72
n + 2 = 9
n = 7
n + 1 = 8
n = 7 ok
d) n!/(n - 4)! = n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)
a) ((n - 1)! - (n - 2)!)/n!
= (n - 1)!/n! - (n - 2)!/n!
= (n - 1)!/(n*(n - 1)! - (n - 2)!/(n*(n - 1)*(n - 2)!)
= 1/n - 1/(n*(n - 1) = (n - 1)/(n*(n - 1) - 1/(n*(n - 1))
= (n - 2)/(n² - n)
b) (Pn+1 - Pn)/n!
= (n + 1)!/n! - n!/n!
= n + 1 - 1 = n
c) (n + 2)! = 72•n!
(n + 2)*(n + 1) = 72
9 * 8 = 72
n + 2 = 9
n = 7
n + 1 = 8
n = 7 ok
d) n!/(n - 4)! = n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)
muito obrigada mestre.
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