Question

1) Sendo x a medida de um arco correspondente a um ângulo agudo , considere a equação sen x= 1/2

a) qual valor é considerado : o arco ou o seno ?
b) resolva essa equação
c) se a medida do arco se encontrasse no intervalo [0,2pi] , explique o que mudaria na resolução.

Answer 1

a) A incógnita da equação é $x$, que corresponde ao(s) valor(es) do(s) arco(s) a ser(em) encontrado(s).


b) As soluções de uma equação que pode ser reescrita na forma

$\mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}a$

são

$x=a+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-a \right )+k\cdot 2\pi$

onde $k \in \mathbb{Z}$ (conjunto dos números inteiros).


Então, resolvendo a equação proposta, temos

$\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{2}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{6}\\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )+k\cdot 2\pi\\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{6\pi-\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi}$

onde $k \in \mathbb{Z}$


c) Se fosse imposta a restrição 

$x \in \left[\,0,\,2\pi\,\right]$

a única coisa que mudaria seria que $k$ só poderia assumir valor zero. Qualquer outro valor inteiro para $k$ resultaria em uma solução fora do intervalo $\left[\,0,\,2\pi\,\right]$.

para $k=0$ as soluções são

$\boxed{x=\dfrac{\pi}{6}\;\;\text{ ou }\;\;x=\dfrac{5\pi}{6}}$