Question

1- sendo log a=6 ,log b=4 e log c=2 ,calcule:
a) log$\sqrt{abc}$
         c

Answer 1

$log_{c} ^{ \sqrt{abc} }$

Primeiro vamos transformar essa raiz quadrada em uma potencia com expoente fracionário, lembrando que, por exemplo: $\sqrt{2} = 2^{ \frac{1}{2} }$

Então, no nosso caso teremos:

$log_{c} ^{ \sqrt{abc} } \\ \\ log_{c} ^{( abc)^{ \frac{1}{2} } }$

"Tombando" o expoente:

$\frac{1}{2}. log_{c} ^{abc }$

Lembrando que o log de uma multiplicação é a soma dos logs:

$\frac{1}{2}. ( log_{c} ^{a } + log_{c} ^{b } + log_{c} ^{c })$

Sabendo que $log_{c} ^{c } = 1$, faremos:

$\frac{1}{2}. ( log_{c} ^{a } + log_{c} ^{b } + 1) \\ \\ \frac{1}{2}. ( \frac{log(a)}{log(c)} + \frac{log(b)}{log(c)} + 1)$

Como o enunciado diz que log(a) = 6, log(b) = 4 e log(c) = 2, então basta substituir:

$\frac{1}{2}. ( \frac{6}{2} + \frac{4}{2} + 1) \\ \\ \frac{1}{2}. ( 3 + 2 + 1) \\ \\ \frac{1}{2}. 6 \\ \\ \frac{6}{2} = 3$

Assim, 

$\boxed{\boxed{log_{c} ^{ \sqrt{abc} } = 3}}$

Answer 2

O resultado do logaritmo $log_{c}\sqrt{abc}$ é igual a 3.

Logaritmos

Os logaritmos são definidos como uma operação matemática que representa uma equação exponencial, onde ao resolvermos os logaritmos estamos resolvendo uma equação exponencial.

O logaritmo é:

$log_{c}\sqrt{abc}$

Vamos colocar essa raiz quadrada em forma de expoente, temos:

$log_{c}(abc)^{\frac{1}{2}$

A propriedade dos logaritmos nos diz que quando temos um expoente em um logaritmo podemos multiplicar o logaritmo pelo expoente. Temos:

$\dfrac{log_{c}(abc)}{2}$

A propriedade nos diz que o logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos. Temos

$\dfrac{1}{2} * (log_{c}(a) + log_{c}(b) + log_{c}(c))$

Para resolver essa expressão temos que mudar a base do logaritmo para, para isso realizamos o cálculo a seguir:

$\dfrac{1}{2} * (log_{c}(a) + log_{c}(b) + 1)\\\\\dfrac{1}{2} * (\dfrac{log(a)}{log(c)} + \dfrac{log(b)}{log(c)} + 1)$

Agora que temos os logaritmos com base 10 podemos substituir os valores de cada logaritmo informado na questão. Temos:

$\dfrac{1}{2} * (\dfrac{6}{2}+\dfrac{4}{2}+1)$

Calculando, temos:

1/2 * (10/2 + 1)

1/2 * (5 + 1)

1/2 * 6

6/2

3

Aprenda mais sobre logaritmos aqui:

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