Question

1) Sendo log ³(√11-2)=m, então o valor de
log ³(√11+2) é igual a?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre logaritmos.

Sendo $\log_3(\sqrt{11}-2)=m$, devemos determinar o valor de $\log_3(\sqrt{11}+2)$

Primeiro, utilizando o logaritmando $\sqrt{11}+2$, multiplique-o pela fração $\dfrac{\sqrt{11}-2}{\sqrt{11}-2}$

$(\sqrt{11}+2)\cdot \dfrac{\sqrt{11}-2}{\sqrt{11}-2}$

Multiplique as frações utilizando a propriedade do produto da soma pela diferença: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

$\dfrac{(\sqrt{11})^2-2^2}{\sqrt{11}-2}$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{11-4}{\sqrt{11}-2}\\\\\\ \dfrac{7}{\sqrt{11}-2}$

Dessa forma, teremos:

$\log_3(\sqrt{11}+2)=\log_3\left(\dfrac{7}{\sqrt{11}-2}\right)$

Aplique a propriedade do logaritmo do quociente: $\log_c\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log_c(a)-\log_c(b)$

$\log_3(\sqrt{11}+2)=\log_3(7)-\log_3(\sqrt{11}-2)$

Substituindo $\log_3(\sqrt{11}-2)=m$, finalmente teremos:

$\log_3(\sqrt{11}+2)=\log_3(7)-m~~\checkmark$

Este é o resultado que buscávamos.

Answer 2

Olá,

Temos que:

$log_{3}( \sqrt{11} - 2) = m$

$log_{3}( \sqrt{11} + 2 ) = ?$

Vamos chamar as variáveis dentro do logaritmo de:

$\alpha = \sqrt{11} - 2$

$\beta = \sqrt{11} + 2$

Façamos:

$\alpha \beta = ( \sqrt{11} - 2)( \sqrt{11} + 2)$

$\alpha \beta = ( \sqrt{11} {)}^{2} - {2}^{2}$

$\alpha \beta = 11 - 4$

$\alpha \beta = 7$

Assim, temos:

$\alpha \beta = ( \sqrt{11} - 2)( \sqrt{11} + 2) = 7$

Aplicando logaritmos na base 3:

$log_{3}( \alpha \beta ) = log_{3}(( \sqrt{11} - 2)( \sqrt{11} + 2) ) = log_{3}(7)$

$log_{3}( \sqrt{11} - 2) + log_{3}( \sqrt{11} + 2) = log_{3}(7)$

$m + log_{3}( \sqrt{11} + 2 ) = log_{3}(7)$

$log_{3}( \sqrt{11} + 2) = log_{3}(7) - m$