Question

1) sendo cosx= -2√2/3, com π/2<x<π, calcule tgx e cotgx​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos que o cosseno possui o seguinte valor:

$\cos(x) = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{3}$

Vamos usar esse valor para achar o seno para que possamos calcular a tangente.

Aplicando a relação fundamental da trigonometria:

$\sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1$

$\sin {}^{2} (x) + ( \frac{ - 2\sqrt{2} }{3} ) {}^{2} = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) + \frac{( - 2 \sqrt{2} ) {}^{2} }{ {3}^{2} } = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) + \frac{ 4.2}{9} = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) + \frac{8}{9} = 1 \\ \\ \sin {}^{2} (x) = 1 - \frac{8}{9} \\ \\ \sin {}^{2} (x) = \frac{9 - 8}{9} \\ \\ \sin {}^{2} (x) = \frac{1}{9} \\ \\ \sin(x) = \pm \sqrt{ \frac{1}{9} } \\ \\ \boxed{ \sin(x) = \pm \frac{1}{3}}$

A questão fala que o "x" está no Intervalo de 90° < x < 180°, ou seja, esse ângulo se encontra no segundo quadrante. O seno no segundo quadrante é positivo, então vamos descartar o valor negativo, sendo assim a nossa resposta:

$\boxed{ \sin(x) = \frac{1}{3} }$

Agora vamos calcular a tangente. Sabemos que tangente é seno(x) sobre cosseno(x) e temos esses dois dados.

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \\ \\ \tan(x) = \frac{ \frac{1}{3} }{ \frac{ - 2 \sqrt{2} }{3} } \\ \\ \tan(x) = \frac{1}{3} . \frac{3}{ - 2 \sqrt{2} } \\ \\ \tan(x) = \frac{3}{3.( - 2 \sqrt{2}) } \\ \\ \tan(x) = \frac{3}{ - 6 \sqrt{2} } \\ \\ \tan(x) = \frac{1}{ - 2 \sqrt{2} } \\ \\ \tan(x) = \frac{1}{ -2 \sqrt{2} }. \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ \tan(x) = \frac{ \sqrt{2} }{ - 2. \sqrt{4} } \\ \\ \tan(x) = \frac{ \sqrt{2} }{ - 2.2} \\ \\ \tan(x) = \frac{ \sqrt{2} }{ - 4} \\ \\ \boxed{\tan(x) = - \frac{ \sqrt{2} }{4} }$

A tangente é negativa no segundo quadrante, então mantém o sinal. E por fim vamos calcular a cotangente que é o inverso da tangente, ou seja, 1/tan(x).

$\cot(x) = \frac{1}{ \tan(x) } \\ \\ \cot(x) = \frac{1}{ - \frac{ \sqrt{2} }{4} } \\ \\ \cot(x ) = \frac{1}{1} . - \frac{4}{ \sqrt{2} } \\ \\ \cot(x) = - \frac{4}{ \sqrt{2} } \\ \\ \cot(x) = - \frac{4}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ \cot(x) = - \frac{4 \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } \\ \\ \cot(x) = - \frac{4 \sqrt{2} }{2} \\ \\ \boxed{ \cot(x) = - 2 \sqrt{2} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️