Question

1- sendo A= $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\0&2\\\end{array}\right]$ e B= $\left[\begin{array}{ccc}1&3\\0&2\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&3\\2&0\\\end{array}\right]$ calcule det. (A.B)

2-Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace
A= $\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\0&3&4\\-1&0&3\end{array}\right]$

Answer 1

Usando o teorema de Binet, já que se tratam de matrizes quadradas.

$\fbox{ \mathsf{det~(A\cdot B)=(det~A)\cdot(det~B)} }$

Note que a matriz A

$\mathsf{A=}\begin{pmatrix}\mathsf{1~~~~3}\\\mathsf{0~~~~2}\end{pmatrix}$

Também aparece em B multiplicando uma outra matriz (chamarei a outra matriz de C).

$\mathsf{B=}\underbrace{\begin{pmatrix}\mathsf{1~~~~3}\\\mathsf{0~~~~2}\end{pmatrix}}_{\mathsf{A}}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}\mathsf{-1~~~~3}\\\mathsf{~2~~~~~0}\end{pmatrix}}_{\mathsf{C}}$

Fazendo uso do teorema de Binet:

$\fbox{ \mathsf{det~(A\cdot B)~\Leftrightarrow~det~(A\cdot A\cdot C)~\Leftrightarrow~det~(A)\cdot det~(A)\cdot det~(C)} }$

Isso nos poupa o trabalho de realizar um produto entre matrizes para obter B.

Calculando det A

$\mathsf{det~A=}\begin{vmatrix}\mathsf{1~~~~3}\\\mathsf{0~~~~2}\end{vmatrix}~\Rightarrow~\mathsf{(1\cdot2)-(3\cdot0)=2}$

Calculando det C

$\mathsf{det~C=}\begin{vmatrix}\mathsf{-1~~~~3}\\\mathsf{~~2~~~~0}\end{vmatrix}~\Rightarrow~\mathsf{(-1\cdot0)-(3\cdot2)}=-6$

Usando o que vimos anteriormente:

$\mathsf{det(A)\cdot det(A)\cdot det(C)}\\\\=2\cdot2\cdot(-6)\\\\=4\cdot(-6)\\\\=-24$

Sendo assim det (A·B) = -24

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"O teorema de Laplace nos diz que o determinante de uma matriz M de ordem n ≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores."

O que é cofator? 

$\fbox{ \mathsf{Cofator~(A_{ij})=(-1)^{i+j}\cdot Dij} }$

Onde Dij é o menor complementar do elemento aij (i = linha, j = coluna).

Não tomarei muito tempo explicando tais termos (não quero deixar a resposta muito longa).

$\mathsf{A=}\begin{pmatrix}\mathsf{~\hspace{-2}2~~~~1~~-1}\\\mathsf{0~~~~3~~~~~4}\\\mathsf{\hspace{-8}-1~~~~0~~~~~3}\end{pmatrix}$

Vou aplicar o teorema na primeira coluna (pois há um zero ali, que simplifica o cálculo).

Elemento 2 (a_{11})

$\mathsf{2\cdot(-1)^{1+1}\cdot D_{11}}\\\\\mathsf{2\cdot(-1)^2\cdot D_{11}}\\\\\mathsf{2\cdot1\cdot D_{11}}\\\\\\\mathsf{D_{11}}=\begin{vmatrix}\mathsf{3~~~~4}\\\mathsf{0~~~~3}\end{vmatrix}=\mathsf{(3\cdot3)-(4\cdot0)=9}\\\\\\\mathsf{2\cdot9=18}$

Elemento 0 (a_{21}) 

$\mathsf{0\cdot(-1)^{2+1}\cdot D_{21}~\Longrightarrow~0}$

Elemento -1 (a_{31})

$\mathsf{-1\cdot(-1)^{3+1}\cdot D_{31}}\\\\\mathsf{-1\cdot(-1)^4\cdot D_{31}}\\\\\mathsf{-1\cdot1\cdot D_{31}}\\\\\\\mathsf{D_{31}}=\begin{vmatrix}\mathsf{1~~~-1}\\\mathsf{3~~~~~~4}\end{vmatrix}=\mathsf{(1\cdot4)-(-1\cdot3)=4-(-3)=4+3=7}\\\\\\\mathsf{-1\cdot7=-7}$

Sendo assim:

$\mathsf{det~A=18+0+(-7)}\\\\\mathsf{=18-7}\\\\\mathsf{=11}$