Question

1) Sendo a função f (x, y)

2) Sendo a função f(x,y)

Answer 1

1)

Veja que xy está no radicando de uma raiz quadrada, logo, esse deve ser não-negativo (raiz quadrada de número negativo não é real). Logo, devemos ter $xy\ge0$ (apenas com essa condição)

Mas, note que a raiz de xy está no denominador de uma fração, e não podemos ter denominador nulo.

Juntando (i) e (ii), devemos ter $xy~\textgreater~0$

Como nenhuma dessas opções é o domínio (completo) da função, devemos avaliar o caso que não nos dá resultados absurdos:

a) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x~\textless~y\}$

Esse conjunto possui pontos que não estão no domínio de f, como o ponto $(0,3)$, que está em D pois x = 0 < 3 = y

Esse ponto faria $xy=0$

b) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x\neq y\}$

Esse conjunto também contém pontos onde f não é definida, como o ponto $(0,3)$

c) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x=y\}$

D contém o ponto (0,0), que faz $xy=0$, logo f não está definida em todo ponto de D

c) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x~\textgreater~y\}$

D contém o ponto (0,-3) (pois 0 > -3), e esse ponto faz $xy=0$

Logo, a função não está bem definida em nenhum desses conjuntos.
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2)

Nesse caso, só não podemos anular o denominador. Logo, deve-se ter:

$x^{2}+y^{2}-1\neq0~~\therefore~~\boxed{\boxed{x^{2}+y^{2}\neq1}}$

Daí, o domínio de f é o conjunto $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\neq1\}$

LETRA C