Question

1-  (SENAI-SP) Veja a figura (no anexo). O valor aproximado do raio da circunferência circunscrita no triângulo é:
a) 2,89 m
b) 5,75 m
c) 8,7 m
d) 10 m
e) 11,49 m
(dados: sen 60º = 0,87; cos 60º = 0,5; tg 60º = 1,73)

2-  (SENAI-SP) Um atleta resolveu correr por 20 dias e a cada dia fez 400 metros a mais do que no dia anterior. Sabe-se que, no final dos 20 dias ele percorreu um total de 116 km. O número de Km que ele percorreu no último dia foi de:
a) 2
b) 8
c) 7,6
d) 9,6
e) 116

A resposta da primeira é B e a da segunda é D, mas não consigo fazer os devidos cálculos. Se alguém puder me ajudar, serei muito grato. Valeu!

Answer 1

Oi Rodrigo!

1) 
Veja a imagem em anexo. Adotando o ponto A' e o novo triângulo A'BC, podemos notar que tanto o ângulo A como A'  representam o mesmo arco BC (em rosa) e, portanto, são congruentes. Logo, sabemos que A' também mede 60º.
Desse modo, podemos aplicar a lei dos senos, que nos diz:
$\frac{x}{senx} =2R$

Onde x é o lado oposto ao ângulo em questão. Sabemos que esse lado mede 10 e ainda temos que sen60º = 0,87 aproximadamente. Então, podemos equacionar:
$\frac{10}{0,87}=2R \\ \\ 10 = 1,74R \\ \\ R = 5,747m$

Concluímos então que o raio R dessa circunferência, mede aproximadamente 5,75m.

2)
Como o atleta adicionou a cada novo dia um valor constante (400m) em suas corridas, podemos dizer que ele está em progressão aritmética, onde 400m (ou 0,4km) é a sua razão (R) e 20 é o total de termos dessa PA. Como o problema nos pede a distância que ele percorreu no último dia, queremos descobrir exatamente o valor do vigésimo membro (a20) dessa PA. Do termo geral de uma PA, temos:
$a_n=a_1(n-1)R$

Substituindo os valores conhecidos:
$a_{20}=a_1+(20-1)0,4 \\ \\ a_{20}=a_1+19*0,4 \\ \\a_{20}=a_1+7,6 \\ \\ a_1=a_{20}-7,6$

Sabemos que no final dos 20 dias ele percorreu um total de 116 km. Isto é, a soma dos 20 termos dessa PA é igual a 116. Por definição, a soma dos n termos de uma PA é dado por:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Então:
$S_{20}= \frac{(a_1+a_{20})20}{2} \\ \\ 116= \frac{(a_{20}-7,6+a_{20})20}{2} \\ \\ 116 = (2a_{20}-7,6)10 \\ \\ 116= 20a_{20}-76 \\ \\ 192=20a_{20} \\ \\ a_{20}=9,6$

Portanto, no último dia, o atleta correu 9,6km.

Bons estudos! Qualquer dúvida na resolução me comunique!