1. Sejam A(2, 1, 3), B(3, m, 5) e C(0, 4, 1) vértices de um triangulo, com ˆângulo reto em A. Faça o que se pede:
a) Determine m
b) Determine o vetor projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC e represente graficamente
c) Determine a área do triângulo ABC
d) O ponto D(-1,4,3) está no mesmo plano que A, B e C? Justifique sua resposta
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo a passo:
1. Sejam A(2, 1, 3), B(3, m, 5) e C(0, 4, 1)
a) retângulo em A
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + (m - 4)² + (5 - 1)²
BC² = 9 + m² - 8m + 16 + 16 = m² - 8m + 41
AB² = 1² + (m - 1)² + (5 - 3)² = 1 + m² - 2m + 1 + 4 = m² - 2m + 6
AC² = 2² + 3² + 2² = 4 + 9 + 4 = 17
m² - 8m + 41 = m² - 2m + 6 + 17
6m = 41 - 23 = 18
m = 3
b) vetor projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC
AB² = m² - 2m + 6 = 3² - 2*3 + 6 = 9
BC² = m² - 8m + 41 = 3² - 8*3 + 41 = 26
BC = √26
9 = p√26
p = 9√26/26
c) área ABC
A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) , C(0, 4, 1)
AB = B - A = (3,3,5) - (2,1,3) = (1, 2, 2)
AC = C - A = (0,4,1) - (2,1,3) = (-2, 3, -2)
produto vetorial
i j k i j
1 2 2 1 2
-2 3 -2 -2 3
AB X AC =
-4i - 4j + 3k + 4k - 6i + 2j = -10i -2j + 7k = (-10,-2,7)
modulo
lAB x ACl = √(10² + 2² + 7²) = √153 = √(9*17)
área A = 3√17/2