Question

1)Seja α um número real positivo. Sabe-se que f(x)=(x^2+12x+54)e^αx é concava para cima em R e existe x0∈R tal que f′′(x0)=0.
O valor de x0 é

Escolha uma:
A. -6
B. -12
C. -9
D. -18
E. -15
2)Sejam α um número real positivo,
f(x)=α(x^2+28x+16)sen(αx)+(2x+28)cos(αx)+9
e
g(x)=sen(αx)−11.

Sabe-se que as funções f(x) e g(x) crescem e decrescem nos mesmos intervalos.
O valor mínimo de 1/α^2 é

Escolha uma:
A. 90
B. 92
C. 96
D. 91
E. 95

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

1. Sabendo que $f(x)=(x^2+12x+54)e^{\alpha x}$ é côncava para cima em $\mathbb{R}$ e existe $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f''(x_0)=0$.

Devemos encontrar a derivada de segunda ordem da função.

Aplicando a regra do produto, teremos:

$f''(x)=(x^2+12x+54)''\cdot e^{\alpha x}+2(x^2+12x+54)'\cdot (e^{\alpha x})'+(x^2+12x+54)\cdot (e^{\alpha x})''$

Calcule as derivadas

$f''(x)=2\cdot e^{\alpha x}+2(2x+12)(\alpha)\cdot e^{\alpha x}+\alpha^2 (x^2+12x+54)\cdot e^{\alpha x}$

Multiplique os valores e isole $e^{\alpha x}$

$f''(x)=e^{\alpha x}(2+4\alpha x+24\alpha+\alpha^2x^2+12\alpha^2x+54\alpha^2)$

Fatoramos $x$

$f''(x)=e^{\alpha x}(\alpha^2x^2+x(12\alpha^2+4\alpha) +24\alpha+54\alpha^2+2)$

Utilizando o dado cedido pelo enunciado, temos

$e^{\alpha x}(\alpha^2{x_0}^2+x_0(12\alpha^2+4\alpha) +24\alpha+54\alpha^2+2)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero. Visto que o primeiro fator é uma potência de base diferente de zero, temos:

$\alpha^2{x_0}^2+x_0(12\alpha^2+4\alpha) +24\alpha+54\alpha^2=0$

Utilizando a fórmula resolutiva de uma equação quadrática, encontramos:

$x=\dfrac{-(12\alpha^2+4\alpha)\pm\sqrt{(12\alpha^2+4\alpha)^2-4\cdot\alpha^2\cdot(24\alpha+54\alpha^2+2)}}{2\cdot \alpha^2}$

Neste caso, ainda não nos interessa a solução para a variável $x$. Nos foi dito que a função é côncava para cima em $\mathbb{R}$, logo isto significa que ela apresenta ponto de mínimo e para isso utilizamos o discriminante delta:

$(12\alpha^2+4\alpha)^2-4\cdot\alpha^2\cdot(24\alpha+54\alpha^2+2)}\geq 0$

Calcule as potências

$144\alpha^4+96\alpha^3+16\alpha^2-96\alpha^3-216\alpha^4-8\alpha^2\geq 0$

Some os termos semelhantes

$-72\alpha^4+8\alpha^2\geq 0$

Dividimos ambos os lados da equação por $8\alpha^2$, sabendo que $\alpha$ é um número real positivo, logo diferente de zero

$-9\alpha^2+1\geq 0$

Subtraia $1$ em ambos os lados da inequação

$-9\alpha^2\geq -1$

Divida ambos os lados da inequação por $-9$

$\alpha^2\leq \dfrac{1}{9}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da inequação

$\alpha\leq\dfrac{1}{3}$

Substituindo $\dfrac{1}{3}$ na equação que encontramos, teremos:

$\dfrac{1}{9}{x_0}^2+{x_0}\left(12\cdot\dfrac{1}{9}+4\cdot\dfrac{1}{3}\right) +24\cdot\dfrac{1}{3}+54\cdot\dfrac{1}{9}+2=0\\\\\\ \dfrac{1}{9}{x_0}^2+\dfrac{8}{3}x_0+16=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, facilmente vemos que $x_0=-12~~\checkmark$

2. Seja $\alpha$ um número real positivo, $f(x)=\alpha(x^2+28x+16)\sin(\alpha x)+(2x+28)\cos(\alpha x)+9$ e $g(x)=\sin(\alpha x)-11$.

Nos foi dito que as funções $f(x)$ e $g(x)$ crescem e decrescem nos mesmos intervalos, logo sabemos que o comportamento de suas derivadas são iguais.

Derivando a função $f(x)$, temos

$f'(x)=\alpha(2x+28)\sin(\alpha x)+\alpha^2(x^2+28x+16)\cos(\alpha x)+2\cos(\alpha x)-\alpha(2x+28)\sin(\alpha x)$

Veja que podemos cancelar termos opostos, logo

$f'(x)=\alpha^2(x^2+28x+16)\cos(\alpha x)+2\cos(\alpha x)$

Derivando a função $g(x)$, temos

$g'(x)=\alpha\cos(\alpha x)$.

Igualando as derivadas, teremos

$f'(x)=g'(x)\\\\\\ \alpha^2(x^2+28x+16)\cos(\alpha x)+2\cos(\alpha x)=\alpha\cos(\alpha x)$

Veja que podemos simplificar a equação por $\cos(\alpha x)$

$\alpha^2(x^2+28x+16)+2=\alpha$

Efetue a propriedade distributiva

$\alpha^2x^2+28\alpha^2x+16\alpha^2+2=\alpha$

Subtraia $\alpha$ em ambos os lados da equação e reorganize os termos

$\alpha^2x^2+28\alpha^2x+16\alpha^2-\alpha+2=0$

Aplicando a fórmula resolutiva, teremos

$x=\dfrac{28\alpha^2\pm\sqrt{(28\alpha^2)^2-4\cdot \alpha^2\cdot(16\alpha^2-\alpha+2)}}{2\cdot \alpha^2}$

Da mesma forma, utilizamos o discriminante delta:

$784\alpha^4-64\alpha^4+4\alpha^3-8\alpha^2\geq0$

Some os termos semelhantes

$720\alpha^4+4\alpha^3-8\alpha^2\geq0$

Visto que $\alpha$ é um número real positivo, divida ambos os lados da inequação por $4\alpha^2$

$180\alpha^2+\alpha-2\geq0$

Calculando a solução positiva da inequação, temos

$\alpha\leq\dfrac{-1 +\sqrt{1441}}{360}$

Calculando  $\dfrac{1}{a^2}$ a partir deste dado, temos

$\dfrac{1}{\alpha^2}\geq94.87$

Dessa forma, afirmamos que o valor mínimo desta expressão é $95~~\checkmark.$