Question

1) Seja o vetor ->t = (4,0,12) escrito como ->t = α + ->u + β->v + γ->w, onde ->u = (1, − 1,3),
->v = (2, − 1,3) e ->w = (−1, − 1,4). Os valores de α, β e γ, respectivamente, são:

2) Dada a base {->e1, ->e2, ->e3} e as relações
b) ->f 1 = ->e 1 − ->e 2 − ->e 3, ->f 2 = ->e 1 + 2->e 2 + ->e 3, ->f 3 = 2->e 1 + ->e 2 + 4->e 3
sendo ->u = 3->e1 − 5->e2 + 4->e3, ache a expressão de ->u na base (->f 1, ->f 2, ->f 3).

Answer 1

Na primeira questão, temos que os valores de α, β e γ são respectivamente -40 , 28 e 12. Já na segunda questão, temos que $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left(\overset{\rightarrow}{f_1},\overset{\rightarrow}{f_2},\overset{\rightarrow}{f_3}\right)\end{gathered}$ de fato é base do $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathbb{R}^3\end{gathered}$ e que a expressão de u na base f é igual a:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \overset{\rightarrow}{u}=\left( \frac{19}{12},-\frac{11}{4},\frac{25}{12}\right) \end{gathered}$

Vamos agora então para a resolução da sua tarefa.

• Questão 1):

Fala amigo, bom dia. Essa questão pede os valores de α, β e γ, respectivamente. Para isso, temos que:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underline{\boxed{\tt \overset{\rightarrow}{t} =\alpha \cdot \overset{\rightarrow}{u}+\beta \cdot \overset{\rightarrow}{v}+ \gamma \cdot \overset{\rightarrow}{w}}}\end{gathered} }$

Onde: $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \overset{\rightarrow}{t} = (4,0,12)\end{gathered}$ , $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \overset{\rightarrow}{u} = (1,-1,3)\end{gathered}$ , $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \overset{\rightarrow}{v} = (2,-1,3)\end{gathered}$ e

$\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \overset{\rightarrow}{w} = (-1,-1,4)\end{gathered}$. Logo, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt (4,0,12) =\alpha \cdot (1,-1,3)+\beta \cdot (2,-1,3)+ \gamma \cdot (-1,-1,4)\end{gathered}$

E com isso, montamos o seguinte sistema:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases} \tt \alpha+2\beta -\gamma = 4\ \ \ \green{\tt (I)}.\\ \tt -\alpha -\beta -\gamma =0\ \ \ \green{\tt (II)}.\\ \tt 3\alpha +3\beta +4\gamma =12\ \ \ \green{\tt (III)}.\end{cases}\end{gathered}$

E isso implica que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt (II)\Longrightarrow \alpha= -\beta -\gamma \end{gathered}$

Logo, substituindo alpha por - beta - gamma, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases} \tt \alpha+2\beta -\gamma = 4\ \ \ \green{\tt (I)}.\\ \tt -\alpha -\beta -\gamma =0\ \ \ \green{\tt (II)}.\ \ \ \ \Rightarrow \\ \tt 3\alpha +3\beta +4\gamma =12\ \ \ \green{\tt (III)}. \end{cases}\begin{cases}\tt \beta -2\gamma=4\ \ \green{\tt (IV).}\\ \gamma=12\ \ \ \ \ \ \ \ \green{\tt(V).} \end{cases}\end{gathered}$

E portanto, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underline{\boxed{\tt \alpha = -40}}\ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt \beta = 28}}\ \ \wedge \ \ \underline{\boxed{\tt \gamma = 12}}\end{gathered} }$

• Questão 2):

No item a, devemos verificar se $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left(\overset{\rightarrow}{f_1},\overset{\rightarrow}{f_2},\overset{\rightarrow}{f_3}\right)\end{gathered}$ é uma base do $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathbb{R}^3\end{gathered}$. Para isso, vamos criar uma matriz com os coeficientes, se caso o determinante dessa matriz zerar, então ela é L.d e se for diferente de zero então é L.i. Logo:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ \left[\begin{array}{ccc}\tt \overset{\rightarrow}{f_1}\\\tt \overset{\rightarrow}{f_2}\\\tt \overset{\rightarrow}{f_3}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \tt \overset{\rightarrow}{e_1}-\overset{\rightarrow}{e_2}-\overset{\rightarrow}{e_3}\\\tt \overset{\rightarrow}{e_1}+2\overset{\rightarrow}{e_2}+ \overset{\rightarrow}{e_3}\\\tt 2\overset{\rightarrow}{e_1}+\overset{\rightarrow}{e_2}+4\overset{\rightarrow}{e_3}\end{array}\right]\neq0 \end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\1&2&1\\2&1&4\end{array}\right|= 12 \neq 0\end{gathered}$

Portanto é base do $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathbb{R}^3\end{gathered}$. Já no item b, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \overset{\rightarrow}{u}= (3,-5,4)= \alpha (1,-1,-1)+ \beta(1,2,1)+\gamma (2,1,4)\end{gathered}$

E com isso, temos o seguinte sistema:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases} \tt \alpha +\beta +2\gamma = 3\ \ \ \green{\tt( I)}.\\ \tt -\alpha +2\beta +\gamma = -5 \ \ \ \green{\tt( II)}.\\ \tt -\alpha+\beta +4\gamma=4\ \ \ \green{\tt( III)}.\end{cases}\end{gathered}$

E resolvendo esse sistema, temos que a expressão de u na base do f é igual a:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\green{\underline{\boxed{\tt \overset{\rightarrow}{u}=\left( \frac{19}{12},-\frac{11}{4},\frac{25}{12}\right) }}}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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