Question

1) Seja M (a ,b ) = r n s . O valor de a/b é :


a) -20/21

b) -21/20

c) 20/17

d) 17/20​

Answer 1

Resposta:

$\red{\boxed{\dfrac{a}{b} = - \dfrac{21}{20}}}~~ \longrightarrow \underline{Opc_{\!\!\!,}\tilde{a}o~ \mathsf{B}}$

Explicação passo-a-passo:

O ponto M representa a intersecção entre as rectas $r$ e $s$, portanto em M ambas as rectas apresentam mesmas coordenadas, $\mathsf{M(a, b)}$, pela colocação padrão, sabemos que a abcissa é $a$ e a ordenada é $b$.

Indicados os dados acima podemos proceder com a determinação das expressões analíticas das rectas $r$ e $s$, portanto teremos,

$\begin{cases} \green{r}: y = k_1x - 2~~~~~~~, \mathsf{P_r}(\overset{x}{3}; \overset{y}{0}) \\ \\ \red{s}: y = -k_2x + 5 ~~~~, \mathsf{P_s}(\overset{x}{1}; \overset{y}{0}) \end{cases}$

Temos acima as fórmulas que permitir-nos-rão encontrar as expressões analíticas, portanto efectuando as respectivas substituições teremos,

$\begin{cases} 0 = 3k_1 - 2 \\ \\ 0 = -k_2 + 5 \end{cases}$

$\begin{cases}k_1 = \dfrac{2}{3} \\ \\ k_2 = 5 \end{cases}$

Portanto, as expressões analíticas das rectas $r$ e $s$ são:

$\begin{cases} \green{r}: \boxed{y = \dfrac{2}{3}x - 2} \\ \\ \red{s}: \boxed{y = - 5x + 5} \end{cases}$

Deste modo, vamos encontrar as coordenadas que representam a intersecção das rectas $r$ e $s$,

$\iff \dfrac{2}{3}x - 2 = -5x + 5$

$\iff \dfrac{17x}{3} = 7$

$\iff x = \dfrac{21}{17}~ \iff \boxed{a = \dfrac{21}{17}}$

Substituindo x (que é o mesmo que a) em qualquer uma das rectas iremos encontrar a outra coordenada da intersecção das rectas,

$\iff y = (-5)*\dfrac{21}{17} + 5$

$\iff y = -\dfrac{20}{17} ~ \boxed{\iff b = -\dfrac{20}{17}}$

Deste modo, teremos:

$\Longrightarrow \dfrac{a}{b} = -\dfrac{ \: \: \: \: \dfrac{21}{ \cancel{17}} \: \: \: \: \: }{ \dfrac{20}{\cancel{17}}}$

$\iff \red{\boxed{\dfrac{a}{b} = - \dfrac{21}{20}}}$

Espero ter colaborado!)

Answer 2

A reta s passa pelos pontos A(0,5) B(1,0)

$\mathtt{m_{s}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$

$\mathtt{m_{s}=\dfrac{0-5}{1-0}=-5}$

Adotando o ponto A(0,5) a equação de s é

$y=5-5(x-0)=5-5x$

A reta r passa pelos pontos P(0,-2) Q(3,0)

$\mathtt{m_{r}=\dfrac{0-(-2)}{3-0}=\dfrac{2}{3}}$

Adotando o ponto P(0,-2) a equação de r é

$\mathtt{y=-2+\dfrac{2}{3}x}$

O referido ponto M(a, b) é a intersecção das retas r e s.

Portanto podemos escrever:

$\mathtt{\dfrac{2}{3}x-2=5-5x\times(3)}\\\mathtt{2x-6=15-15x}\\\mathtt{2x+15x=15+6}$

$\mathtt{17x=21}\\\mathtt{x=\dfrac{21}{17}}$

Substituindo na equação de s temos:

$\mathtt{y=5-5.\dfrac{21}{17}=\dfrac{85-105}{17}=-\dfrac{20}{17}}$

O exercício pede a razão entre a e b. Portanto

$\mathtt{\dfrac{\frac{21}{17}}{-\frac{20}{17}}}$

$\mathtt{\dfrac{21}{\cancel{17}}\times(-\dfrac{\cancel{17}}{20})}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathtt{\dfrac{a}{b}=-\dfrac{21}{20}}}}$