Question

1) Seja a série:
∞
∑ $3^{-k}$
k=1

Avalie a convergência e, caso afirmativo, o limite da soma.


2) Determine uma fórmula para as somas parciais de
∞
∑ $\frac{1}{2^k}$
k=1

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia|!

1)

$3^{-k} = \frac{1}{3^k}$

Escrevendo os primeiros termos:

k = 1 ; 1 / 3¹ = 1/3

k = 2 ; 1 / 3² = 1/9

k = 3 ; 1 / 3³ = 1/27

A série é decrescente e a razão é:

q = 1/3

a1 = 1/3

Portanto, como |q| < 1 , a série converge.

A soma de uma série infinita  é:

$S_{oo} = \frac{a_1}{1-q}$

Logo:

$S_{oo} = \frac{(1/3)}{1-(1/3)}$

$S_{oo} = \frac{1/3}{2/3}$

$S_{oo} = {1/3}*{3/2}$

Sk = 1/2

2)

$S_k= \frac{a_1(q^k-1)}{q-1}$

$a_1 = (1/2) ^1 = 1/2$

$a_2 = (1/2) ^2 = 1/4$

q = 1/2

a1 = 1/2

Logo:

$S_k = (1/2)\frac{{(1/2)^k}-1}{(1/2)-1}$

$S_k = (1/2)\frac{{(1/2^k)}-1}{-1/2}$

$S_k = -\frac{1}{2^k} + 1$

$S_k = \frac{2^k-1}{2^k}$