Question

1) seja a reta r que passa pelo ponto (3, 2) e é perpendicular a reta s de equação x+y-1=0 determine a distancia do ponto a(3,0) a reta r.

Answer 1

01) Em relação a circunferência r, de equação x²+y²+10 (x-y-4) = 0, dê a posição dos pontos A (-4;4) e B (-5;5) 

@ Vide 

se o valor numerico v 

v< 0 ,,, ponto interno 
v=0 ,,, ponto pertence a circunferencia 
v>0 ....ponto externo 

Substituindo em x²+y²+10 (x-y-4)=0 

A(-4,4) e B(-5,5) 

temos para A,, valor -88, ponto interno 
temos para B valor -90 ponto interno 




02) Determine a intersecção entre a reta r: x+y-3=0 e s: (x+2)² + (y-1)² = 10 

r: x+y-3=0 ou 
y=-x+3 ,,,, substituindo em 

(x+2)² + (y-1)² = 10.... temos 

(x+2)² + (-x+3-1)² = 10 

(x+2)² + (-x+2)² = 10 

desenvolvendo chegamos a 

2x²-2=0 

x²=1 
x=+-1 

se x=-1 levando para y=-x+3 ....y=1+3 = 4 ...... P(-1 , 4) 


se x=1 levando para y=-x+3 .....y=-1+3= 2......P(1, 2) 

Resp 

(-1,4) 

(1,2) 




3) 
Para verificar se se cruzam , vamos confrontar uma equaçao com a outra 

Para isto vamo multiplicar r2 por -1 e soma-las ou 

r1: x²+y²-1=0 
r2: -x²-y²+16x+16y-63=0 

16x+16y-64=0.... dividindo por 16 

x+y-4=0 

y= -x+4 .... levando para r1 temos 

x²+ (-x+4)²-1=0.. desenvolvendo chegamos a 

2x²-8x+15=0 

Δ= 64-8.15=64-120=-56... 

Como Δ<0 , nao tem solução no campo real ,,, logo nao se cortam, sao externas 

.# Vide grafico 




3)Se s é perpendicular a x+y+1=0 ou y=-x-1 que tem coeficiente angular -1 ,, logo s tem coeficiente angular m=1.... e passa por (x1,y1)=(1,3) 

A equaçao da reta é 

y-y1=m(x-x1) 

y-3= 1(x-1) 

y=x-1+3 

y=x+2.... ou x-y+2=0 

A circunferencia com centro na origem a equação da é 

x²+y²= r² ,,, 

se a reta é tangente entao vamos encontrar a distancia da reta ao centro pela formula 

d=I a.x0+b.y0+cI/√ (a²+b²)..... tomando em x-y+2=0 

a=1 
b=1 
c=2 
x0=0 
y0=0 

levando para a formula d=I a.x0+b.y0+cI/√ (a²+b²)..... temos 

d=I 1.0+1.0+2I/√ (1²+1²). 

d=2/√2...... racionalizando d=2√2/2=√2 

Que é o raio 

Entao 

r=√2 e a equação da circnferencia é 

x²+y²=(√2)² 

x²+y²=2 

Para encontrar o ponto de tangencia vamos confrontar 
as equaçoes 

em x²+y²=2 ... com y=x+2.... temos 

x²+(x+2.)²= 2 desnvolvendo resulta em 

2x²+4x+2=0 
x²+2x+1=0 

Δ=4-4=0 

x=(-2+-0)/2 

x=-1 

levando para y=x+2 .... y= -1+2=1 

Entao o ponto de tangencia é 
(-1 ,1)