Question

1.Se sen x = 1/3 e 0 ˂ x ˂ π/2, então o valor de cos⁴x – sen⁴x será: *

7/3

7/8

8/3

7/9

1/3

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Answer 1

Resultado > 7/9

Trigonometria

A questão pede para encontrarmos o valor de cos⁴x – sen⁴x, sabendo que senx + 1/3 e o resultado está no intervalo 0 < x < π/2, ou seja, é positivo e está no primeiro quadrante. Primeiramente temos que ter conhecimento da seguinte identidade Trigonométrica:

$\large \boxed{ \boxed{ \sf {cos}^{4}(x) - {sen}^{4} (x) = { ({cos}^{2} (x) + {sen}^{2} (x))}^{2} - 2 {sen}^{2} (x) \cdot {cos}^{2}(x) }}$

Agora, precisamos apenas simplificar esses termos e substituir senx por 1/3, Cálculo abaixo:

• Pela Relação Fundamental da Trigonometria, sen ²x + cos²x = 1, então Substituimos por 1

$\large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf { ({cos}^{2} (x) - {sen}^{2} (x))}^{2} - 2 {sen}^{2} (x) \cdot {cos}^{2}(x) \\ \\ \sf {1}^{2} - 2 {sen}^{2} (x) \cdot {cos}^{2}(x) \\ \\ \sf 1 - 2 {sen}^{2} (x) \cdot {cos}^{2}(x) \\ \: \end{array}}$

Vamos fazer uma Manipulação Álgebrica, para ficarmos com 2senx.cosx, que no caso e tal fórmula do arco duplo. Para fazer isso vamos colocar os expoentes dos termos Trigonométricos em evidência, ou seja, 2sen²x . cos ²x vai ficar (2senx.cos)². Agora vamos aplicar o arco duplo do Sen, Veja Abaixo:

$\large \boxed{\begin{array}{lr} \\ \sf1 - 2 {sen}^{2} (x) \cdot {cos}^{2}(x) \\ \\ \sf1 -{ ( 2sen (x) \cdot cos(x)) }^{2} \\ \\ \sf arco \: duplo \: do \: senx\Rightarrow sen(2x) = 2sen(x) \cdot cos(x) \\ \\ \sf1 - {sen(2x) }^{2} \\ \: \end{array}}$

• Agora é só Substituir sen 2x por 1/3, aí e Multiplicar por 2, e fazer aquela Propriedadezinha do Sen(x)^n, em que dividimos por 3

$\large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf{ sen\Bigg(2 \cdot \frac{1}{3} \Bigg) }^{2} = {sen\Bigg( \dfrac{2}{3} \div 3\Bigg) }^{2} \\ \\ \sf {sen}^{2} = \dfrac{2}{9} \\ \\ \sf 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9} \\ \: \end{array}}$

➡️ Resposta:

$\Huge \boxed{\boxed{\sf \dfrac{7}{9} }}$

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$\Huge \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\sum}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$