Question

1 Sabendo que sen x = (√3)/2, segundo quadrante calcule cos x.
2 Dado cos x = 4/5 primeiro quadrante, calcule sen x e tg x.

Eu estou com muita duvida em relação ao sinais no quadrante, por exemplo, eu so relaciono ao quadrante quando encontro o resultado de cos x, sen x e tgx?

Answer 1

Vamos relembrar da relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

1) Pede o Cos(x) sabendo que o ângulo está no 2º quadrante e :

$\displaystyle Sen(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vamos usar a relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

Substituindo o seno e isolando o Cos(x) :

$\displaystyle (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + Cos^2(x) = 1 \to \frac{3}{4} + Cos^2(x) = 1$

$\displaystyle Cos^2(x) = 1 -\frac{3}{4} \to Cos^2(x) = \frac{1}{4}$

tirando a raiz quadrada dos dois lados :

$\displaystyle Cos(x) = \pm \frac{1}{2}$

Qual valor vamos usar ? o valor Negativo, pois o Cosseno no 2º quadrante é negativo.

$\fbox{\displaystyle Cos(x) =- \frac{1}{2} }$

2) Queremos o Sen(x) e Tg(x) sabendo que o ângulo está no segundo quadrante e que :

$\displaystyle Cos(x) = \frac{4}{5}$

Vamos usar a relação fundamental da trigonometria :

$Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$

$\displaystyle Sen^2(x) + (\frac{4}{5} )^2 = 1$

$\displaystyle Sen^2(x) + \frac{16}{25} = 1 \to Sen^2(x) = 1- \frac{16}{25}$

$\displaystyle Sen^2(x) = \frac{9}{25} \to Sen(x) = \pm\sqrt{\frac{9}{25} } \to Sen(x) =\pm \frac{3}{5}$

Qual valor vamos usar ? O valor positivo, pois o seno no 1º quadrante é positivo.

Portanto :

$\fbox{\displaystyle Sen(x) = \frac{3}{5} }$

Agora vamos achar a tangente, sabendo que :

$\displaystyle Tg(x) = \frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

então :

$\displaystyle Tg(x) = \frac{\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{4}{5}} \to \fbox{\displaystyle Tg(x) = \frac{3}{4} }$

Sobre os sinais nos quadrantes vc vai ter que decorar. ( Coloquei a imagem dos sinais )

Eu decorei da seguinte forma :

Seno (só o eixo y ) : Acima do eixo X positivo e abaixo negativo

Cosseno (Só o eixo X) : à direita do 0 positivo, à esquerda do 0 negativo

Tangente ( Alterna os sinais ) :

1º quadrante : Positivo

2º quadrante : negativo

3º quadrante : positivo

4º quadrante : negativo