1) Resolver, no conjunto dos números reais, as equações:
a) |x - 3| = 4
b) |x2 - 3x - 1| = 3
c) | 2-x/4 | = x - 1
d) |x|² - 4 | x | + 3 = 0
Preciso muito para amanhã, por favor.
Soluções para a tarefa
Na maioria dos exercícios envolvendo módulo pode ser feito com base na seguinte relação
| f(x) | = k
f(x) = k f(x) = - k
Já outros é recomendado fazer por definição de módulo
| x | = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0
a) |x - 3| = 4
x - 3 = 4 x - 3 = - 4
x = 7 x = -1
S = {-1, 7}
b) |x² - 3x - 1| = 3
x² - 3x - 1 = 3 x² - 3x - 1 = - 3
x² - 3x - 4 = 0 x² - 3x + 2 = 0
x = 4 ; x = -1 x = 2 ; x = 1
S = { -1, 1, 2, 4}
c) | (2-x)/4 | = x - 1
Essa faremos por definição de módulo
Para melhor resolução, multiplique toda a equação por 4 para sumir com o denominador
|2 - x| = 4x - 4
Primeiro: analisa-se a função que possui o módulo
f(x) = 2 - x
Ela é uma função decrescente que possui raiz igual a 2. Logo, será positiva para x < 2 e negativa para x ≥ 2
Segundo: divida nas duas situações possíveis
Para x < 2
2 - x = 4x - 4
5x = 6
x = 6/5
Para x ≥ 2
-2 + x = 4x - 4
3x = 2
x = 2/3
Como x = 2/3 não é maior ou igual a 2, ele não será válido.
Logo, S = {6/5}
d) |x|² - 4.|x| + 3 = 0
Lembre-se: |x|² = x²
x² - 4.|x| + 3 = 0
Poderá haver duas situações, (1) que x do módulo seja positivo ou (2) seja negativo
Situação 1
x² - 4x + 3 = 0
x = 3 ; x = 1
Situação 2
x² + 4x + 3 = 0
x = -3 ; x = -1
Assim, a solução de |x|² - 4.|x| + 3 = 0 será:
S = {-3, -1, 1, 3}