Question

1) Resolva
$\sf \lim_{x\rightarrow0} \frac{tan {}^{2} (x + x {}^{2} )}{(x + x {}^{2} )}$
• Sem usar L'hôpital, please.​

Answer 1

Resposta:

Lim    tan²(x+x²) / (x+x²)

x-->0

Lim    sen²(x+x²) /[ (x+x²)*cos²(x+x²)]

x-->0

Lim      (1/cos²(x+x²)) * sen²(x+x²)/ (x+x²)

x-->0

Lim      (1/cos²(x+x²)) *  Lim  sen²(x+x²)/ (x+x²)

x-->0                            x-->0

1     *     Lim  sen²(x+x²)/ (x+x²)

             x-->0

1     * Lim sen(x+x²)  *    Lim  sen (x+x²)/ (x+x²)

          x-->0                    x-->0

_____________________________

*** LImite Fundamental

Lim sen(x) / x  =  1

x-->0

_____________________________

1      * Lim sen(x+x²)  *    1

          x-->0      

=  1 * 0 * 1 = 0 é a resposta          

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\tan^2(x+x^2)}{x+x^2}=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos resolver o seguinte limite: $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\tan^2(x+x^2)}{x+x^2}$ sem utilizar a Regra de l'Hôpital.

Podemos realizar uma substituição $y=x+x^2$. Observe que ao fazermos isto, tínhamos $x\rightarrow0$ (x tendendo a 0), logo $y\rightarrow0$ e nosso limite se torna:

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\tan^2(y)}{y}$

Sabendo que a tangente pode ser reescrita como a razão das funções seno e cosseno, substitua:

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\left(\dfrac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\right)}{y}$

Calcule a fração de frações

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin^2(y)}{y\cdot\cos^2(y)}$

Podemos reescrever o limite da seguinte forma:

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(y)}{y}\cdot \dfrac{\sin(y)}{\cos^2(y)}$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)} =\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)$, teremos

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(y)}{y}\cdot \underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(y)}{\cos^2(y)}$

Pelo Teorema do confronto, sabemos que $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sin(x)}{x}=1$, pois a função seno está limitada ao intervalo $[-1,~1]$ e as funções convergem para o mesmo ponto, logo nosso limite se torna

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(y)}{\cos^2(y)}$

Por fim, sabendo que as duas funções são contínuas em zero, usamos as propriedades $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}$ e $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)=f(c)$. Teremos

$\underset{y\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\sin(y)}{\cos^2(y)}=\dfrac{\sin(0)}{\cos^2(0)}$

Sabemos que $\sin(0)=0$ e $\cos(0) =1$, logo

$\dfrac{\sin(0)}{\cos^2(0)}=\dfrac{0}{1}=0$

Este é o resultado deste limite.