Question

1. Resolva os itens abaixo:

a) Considerando do Gráfico abaixo:

Qual o valor mínimo da
função y = x² + bx + c,
representado pelo gráfico?

---gráfico anexado na imagem acima---


________________________
b) Dada a função f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 4x + k.

Determine o valor de k Є IR, para que a função tenha zeros reais e diferentes.

Answer 1

A)

Pelo gráfico, observamos os valores das duas raízes:

x₁ = 0

x₂ = 3

A forma fatorada da função do segundo grau é:

y = a* (x-x₁) * (x-x₂)

Como ele disse que a função é do tipo y = x² + bx + c , e "a" é igual ao número que multiplica o "x²", então a=1, pois 1*x² = x²

y = (x-x₁)*(x-x₂)

y=(x-0)*(x-3)

y=x*(x-3)

y=x²-3x

Essa é a função.

O valor mínimo é o "y" do vértice, e para encontrá-lo precisamos primeiro do "x" do vértice. Perceba que a distância entre as raízes 3 e 0 é 3, pois 3-0 = 3.

Como o Xv vale sempre a metade dessa distância, Xv=3/2=1,5

Substituindo na função, encontramos o valor mínimo da mesma:

y = 1,5² - 3*1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25 = valor mínimo da função.

B)

Para termos dois zeros diferentes ou duas raízes distintas, o valor de delta (Δ) deve ser positivo, isto é, maior que zero.

Como y = x² + 4x + k ,

Δ = (4)² - 4*1*k = 16 -4k

Δ > 0 => 16 -4k > 0 => 4k < 16 => k < 16/4 => k < 4

Solução => S = {k ∈ R | k<4}