Question

1 -Resolva o sistema abaixo: 2x - y + z = 5 3x + 2y - 4z = 0 x - 2y + z = 2


2-Resolva o sistema abaixo: x - 2y + z = 3 2x + y + z = 1 3x - y + 2z = 2

Answer 1

1) A solução do sistema é S = {(2,1,2)}.

2) O sistema não tem solução.

$\dotfill$

Existem diversas maneiras para resolver sistemas lineares. Os sistemas apresentados são do tipo 3x3 (3 equações e 3 variáveis). Utilizarei a regra de Crammer para encontrar as soluções.

De acordo com tal regra, precisaremos calcular determinantes de matrizes 3x3. Desse modo, vou assumir que você já sabe fazer isso e somente apresentar o valor para os determinantes.

Vamos à tarefa:

1 - Resolva o sistema abaixo: 2x - y + z = 5 ; 3x + 2y - 4z = 0 ; x - 2y + z = 2

Calcula-se primeiramente o determinante da matriz dos coeficientes. Comumente, chama-se esse determinante de Δ:

Δ = det  $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1\\3 & 2 & -4\\1 & -2 & 1\end{array}\right)\end{displaymath}$ = -13

Calcula-se, a seguir, o determinante Δi  das matrizes dos coeficientes com a respectiva coluna i  substituída pela coluna dos termos independentes:

Δx = det  $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}5 & -1 & 1\\0 & 2 & -4\\2 & -2 & 1\end{array}\right)\end{displaymath}$ = -26

Δy = det  $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 1\\3 & 0 & -4\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\end{displaymath}$ = -13

Δz = det  $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 5\\3 & 2 & 0\\1 & -2 & 2\end{array}\right)\end{displaymath}$ = -26

Por fim,

x = Δx/Δ = -26/-13 = 2

y = Δy/Δ = -13/13 = 1

z = Δz/Δ = -26/13 = 2

A solução do sistema é S = {(2,1,2)}.

$\dotfill$

2 - Resolva o sistema abaixo: x - 2y + z = 3 ; 2x + y + z = 1 ; 3x - y + 2z = 2

De forma análoga:

Δ = det  $\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1\\3 & 2 & -4\\1 & -2 & 1\end{array}\right)\end{displaymath}$ = 0

Acontece agora que o determinante é nulo. Logo, as divisões Δi/Δ não existem. Assim sendo, o sistema não tem solução.

Até mais!