Question

1)Resolva o problema de valor inicial 2senx dx + 2ydy = 0, y(?/3) = 2.
Assinale a alternativa que fornece y(?/2).

Alternativas:

a)Aproximadamente 2,0.

b)Aproximadamente 2,5.

c)Aproximadamente 5,0.

d)Aproximadamente -5,0.

e)Aproximadamente -2,0.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais e problemas de valor inicial.

Seja o problema de valor inicial:

$2\sin(x)\,dx+2y\,dy=0,~y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2$. Buscamos o valor de $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Primeiro, subtraia $2\sin(x)\,dx$ em ambos os lados da igualdade

$2y\,dy=-2\sin(x)\,dx$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int 2y\,dy=\int -2\sin(x)\,dx}$

Aplique a propriedade da constante em ambas as integrais: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{2\cdot\int y\,dy=-2\cdot\int \sin(x)\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A potência $y=y^1$.
• A integral da função seno é igual ao oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C}$.

Calcule as integrais

$2\cdot\left(\dfrac{y^{1+1}}{1+1}+C_1\right)=-2\cdot(-\cos(x)+C_2)$

Some os valores no expoente e denominador

$2\cdot\left(\dfrac{y^2}{2}+C_1\right)=-2\cdot(-\cos(x)+C_2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y^2+2C_1=2\cos(x)-2C_2$

Subtraia $2C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $-2C_2-2C_1=C$

$y^2=2\cos(x)-2C_2-2C_1\\\\\\ y^2=2\cos(x)+C~~\bold{(I)}$

Então, utilize a condição de contorno cedida pelo enunciado

$2^2=2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+C$

Calcule a potência e lembre-se que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$

$4=2\cdot\dfrac{1}{2}+C\\\\\\ C+1=4$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$C=3$

Substituindo este resultado em $\bold{(I)}$, temos:

$y^2=2\cos(x)+3$

Calcule as raízes quadradas em ambos os lados da equação

$y=\pm\,\sqrt{2\cos(x)+3}$

Tendo em vista a condição de contorno fornecida pelo enunciado, assumimos somente a solução positiva

$\bold{y=\sqrt{2\cos(x)+3}}$

Por fim, calculamos o valor da função no ponto desejado

$y=\sqrt{2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+3}$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$, temos:

$y=\sqrt{2\cdot0+3}\\\\\\ y=\sqrt{3}$

Utilizando a aproximação $\sqrt{3}\approx1.73$, conclui-se que a resposta correta é a letra a).