Question

1 ) resolva mentalmente as equações do 2 grau usando soma e produto.
a) -x² + 2x -1 = 0

b) x² - 4x - 5 = 0

c) 2x² - 4x - 16 = 0

d -x² + 3x =

02)Em cada caso, obtenha a forma fatorada de f, sendo:

a) f(x) = x² - 7x + 10

b) f(x) = -2x² + 10x

Auguem me ajuda pfvr :(

Answer 1

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EXPLICAÇÃO PASSO-A-PASSO______✍

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☺lá, Miguel, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, e após o resultado você encontrará um resumo sobre Trinômio Soma e Produto que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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1) Ⓐ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 - 2x + 1 = 0 }$

➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-1 - 1) \cdot x + ((-1) \cdot (-1)) = 0 }$

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➡ $\large\blue{\sf s = \{1\} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{s}~\pink{=}~\blue{ \{1\} }~~~}}$ ✅

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Ⓑ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-5 + 1) \cdot x + (-5 \cdot 1) = 0 }$

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➡ $\large\blue{\sf s = \{-1, 5\} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{s}~\pink{=}~\blue{ \{-1, 5\} }~~~}}$ ✅

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Ⓒ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 - 2x - 8 = 0 }$

➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-4 + 2) \cdot x + (-4 \cdot 2) = 0 }$

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➡ $\large\blue{\sf s = \{-2, 4\} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{s}~\pink{=}~\blue{ \{-2, 4\} }~~~}}$ ✅

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Ⓓ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-3 + 0) \cdot x + (-3 \cdot 0)= 0 }$

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➡ $\large\blue{\sf s = \{0, 3\} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{s}~\pink{=}~\blue{ \{0, 3\} }~~~}}$ ✅

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2) Ⓐ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-2 + (-5)) \cdot x + (-2 \cdot (-5)) = 0}$

➡ $\large\blue{\sf x^2 - 2x - 5x - 10 = 0}$

➡ $\large\blue{\sf x \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2) = 0}$

➡ $\large\blue{\sf (x - 5) \cdot (x - 2) = 0}$

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{f(x)}~\pink{=}~\blue{ (x - 5) \cdot (x - 2) }~~~}}$ ✅

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Ⓑ_____________________________✍

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➡ $\large\blue{\sf x^2 - 5x = 0}$

➡ $\large\blue{\sf x^2 + (-5 + 0) \cdot x + (-5 \cdot 0) = 0}$

➡ $\large\blue{\sf x^2 - 5x = 0}$

➡ $\large\blue{\sf x \cdot (x - 5) = 0}$

➡ $\large\blue{\sf (x - 0) \cdot (x - 5) = 0}$

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{f(x)}~\pink{=}~\blue{ (x - 0) \cdot (x - 5) }~~~}}$ ✅

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_________________________________

$\sf\large\red{FATORAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O~TRIN\hat{O}MIO~SOMA~E~PRODUTO }$

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☔ Quando buscamos as raízes de uma função de segundo grau (y = 0) podemos simplificar a função de forma que seu coeficiente a seja igual a 1 de forma que seus coeficientes b e c possam ser reescritos como uma soma e como um produto de dois outros números, números estes que serão simétricos das raízes da nossa função

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ccc}&&\\&\underline{\sf~~~Trin\hat{o}mio~~~}&\\&\underline{\sf~~~soma~e~produto~~~}&\\&&\\&&\\&\sf ax^2 + bx + c&\\&&\\&\sf = x^2 + (s+p)x + sp&\\&&\\&\sf =x^2 + sx + px + sp&\\&&\\&\sf = s(x + p) \cdot x(x + p)&\\&&\\&\sf = (x + s) \cdot (x + p)&\\&&\\\end{array}}}}}}$

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☔ Observe que nesta fatoração temos duas novas equações para duas incógnitas, s e p

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$\Large\begin{cases}\orange{\sf~I)~b = s + p }\\\\\\ \orange{\sf~II)~c = s \times p } \end{cases}$

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☔ Se desenvolvermos nossa resolução das raízes desta função em termos de s e p encontraremos as seguintes raízes

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$\large\gray{\boxed{\orange{\sf F(x) = \pink{1}x^2 + \green{(s + p)}x + \gray{(s \cdot p)} = 0}}}$

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$\LARGE\pink{\rm \Longrightarrow~~a = 1}$

$\LARGE\green{\rm \Longrightarrow~~b = (s + p)}$

$\LARGE\gray{\rm \Longrightarrow~~c = (s \cdot p)}$

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➡ $\sf\large\orange{\Delta = (s + p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (s \cdot p)}$

➡ $\sf\large\orange{\Delta = s^2 + 2sp + p^2 - 4sp}$

➡ $\sf\large\orange{\Delta = s^2 - 2sp + p^2}$

➡ $\sf\large\orange{\Delta = (s - p)^2}$

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$\large\begin{cases}\orange{\sf x_{1}= \dfrac{-(s + p) + \sqrt{(s - p)^2}}{2} = -p}\\\\\\ \orange{\sf x_{2}= \dfrac{-(s + p) - \sqrt{(s - p)^2}}{2} = -s}\end{cases}$

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm x \in \{ -s, -p\}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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☔ Isto nos recorda de uma outra forma de escrevermos uma equação polinomial em termos de suas raízes

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$\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf f(x) = ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} ... = a(x - x_1)(x - x_2)...}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

__________________________$\LaTeX$✍

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."