Question

1- Resolva em IR as seguintes equações do 2° grau.

a) X² - 4x + 3 = 0
b) 2x² - 4x + 2 = ​

Answer 1

A)

$\Delta =b^{2} -4ac=( -4)^{2} -4\cdotp 1\cdotp 3=4 \\ \\ x'=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdotp 1} \Longrightarrow \boxed{x'=3} \\ \\ x''=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdotp 1} \Longrightarrow \boxed{x''=1} \\ \\ \therefore \boxed{\boxed{S=\{x\in \mathbb{R} |x=1\lor x=3\}}}$

B)

$\Delta =b^{2} -4ac=( -4)^{2} -4\cdotp 2\cdotp 2=0 \\ \\ x'=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{4+\sqrt{0}}{2\cdotp 2} \Longrightarrow \boxed{x'=1} \\ \\ x''=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{4-\sqrt{0}}{2\cdotp 2} \Longrightarrow \boxed{x''=1} \\ \\ \therefore \boxed{\boxed{S=\{x\in \mathbb{R} |x=1\}}}$

Answer 2

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$❏ Existem algumas formas de se resolver uma equação do segundo grau. Algumas das mais conhecidas são as relações de Girard ( soma e produto ), Bhaskara e fatoração.

❏ Resolver em reais ℝ, é considerar todos os valores englobados nos conjuntos dos naturais ℕ, inteiros ℤ, racionais ℚ e irracionais I.

❏ Para esse caso, vamos usar Bhaskara na primeira equação e relações de Girard na segunda para você tomar conhecimento e ter um repertório maior de formas de resolução.

❏ Bhaskara é deduzida através do formato de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0, o qual você pode comparar com a equação que você tem para resolver no intuito de identificar os coeficientes a, b e c.

$\LARGE \underline{ \boxed{\tt x = \frac{ - {b} \pm \sqrt{ {b}^{2} - 4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} }}$

❏ RESOLUÇÃO:

$\large \tt a) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt x = \frac{ { - ( - 4)} \pm \sqrt{ {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3} }{2 \cdot 1} \\ \\ \large \tt x = \frac{4 \pm \sqrt{4} }{2} \Rightarrow x = \frac{4 \pm2}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \tt x_1 = \frac{4 + 2}{2} \: \wedge \: x_2 = \frac{4 - 2}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 3 \: \: \wedge \: \: x_2 =1}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

❏ Para resolvermos utilizando relações de Girard devemos encontrar dois números de acordo com as expressões para soma e produto a seguir:

$\large \tt b) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt S = \frac{-b}{a} \Rightarrow S = \frac{-(-4)}{2}= \frac{4}{2} = \red2 \\ \\ \large \tt P = \frac{c}{a} \Rightarrow p = \frac{2}{2}= \red1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

❏ Precisamos encontrar dois valores x e y, tal que somados resultem em 2 e simultaneamente quando multiplicados resultem em 1

$\large \tt x + y = S = 2 \Leftrightarrow x = y = 1 \\ \large \tt x \cdot y = P = 1 \Leftrightarrow x = y = 1 \: \: \\ \large \tt \because \\ \large \tt S= x + y = 1+1 =2 \\ \wedge \\ \large \tt \: P = x \cdot y = 1 \cdot 1 = 1 \: \: \: \: \: \\ \large \red{ \underline{\boxed{\tt \therefore x = 1}}}$

Ou seja, as condição S = x + y = 2 e P = x × y = 1, são satisfeitas somente se x e y forem 1, logo a raiz dessa equação é 1.