Question

1. Resolva em IR as seguintes equações do 2 0 grau.

a) -3x² +4x – 4 = 0
b) 2x² - 5x + 4 = 0
c) -x² + 16 = 0
d) 3x² - 27 = 0
e) -2x = 0
f) -x² + x + 2= 0 ​

Answer 1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

❏ Podemos utilizar diversas formas de resolver equações quadráticas, entre elas temos: relações de Girard ( soma e produto ), Bhaskara, fatoração e resolução direta, as quais são as mais usuais.

Relações de Girard: Deve-se encontrar dois valores de acordo com a expressão da soma e do produto abaixo. Após isso, encontrar dois números que somados resultem no valor obtido na soma e simultaneamente quando multiplicados resultem no valor obtido no produto.

$\LARGE \underline{ \boxed{ \begin{array}{c}\tt S = -b/a \\\tt P = c/a \: \: \: \end{array}}}$

Bhaskara: Resolvendo pela expressão abaixo

$\LARGE \underline{ \boxed{ \tt x = \frac{ - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c } }{2 \cdot a} } }$

Fatoração: Usa-se quando temos o um caso de equação incompleta do tipo ax² + bx, note que há x em ambos os coeficientes, logo podemos reescrever, fatorando o x na expressão, ficando x( ax + b ). Note também que se você distribuir o x novamente, voltará a ter o que tinha.

Resolução direta: Usada em equações quadráticas incompletas, sendo ela para o tipo ax² + c. Nesses casos, basta isolar x.

a) -3x² + 4x – 4 = 0

Para esse caso é viável resolver por Bhaskara. Vamos calcular o discriminante ∆.

$\large \tt \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt \Delta = 4^2 - 4 \cdot ( - 3) \cdot ( - 4)\\ \large \tt \Delta = - 32 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:S \: \notin \mathbb{R}}}}$

Calculando o discriminante, podemos ver que seu valor é negativo ( -32 ), perceba que estamos resolvendo em Reais ℝ, logo extrair a raiz de um valor negativo resultará em um valor imaginário, portanto a solução não existe nos Reais ( S ∉ ℝ ), somente nos complexos ℂ.

b) 2x² - 5x + 4 = 0

Vamos averiguar também o discriminante ∆.

$\large \tt \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt \Delta = ( - 5)^2 - 4 \cdot 2\cdot 4\\ \large \tt \Delta = - 7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:S \: \notin \mathbb{R}}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelo mesmo caso da alternativa anterior, não existe solução no conjunto dos números reais.

c) -x² + 16 = 0

Vamos multiplicar ambos os lados por -1

$\large \tt - {x}^{2} + 16 = 0 \\ \large \tt {x}^{2} - 16 = 0 \: \: \:$

Perceba que podemos somar 16 em ambos os lados, pois aí isolaremos o x²

$\large \tt {x}^{2} \cancel{ - 16 +16}= 0 +16 \\ \large \tt {x}^{2} = 16 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para sumir com o quadrado, podemos extrair a raiz quadrada dos dois lados

$\large \tt \sqrt{ {x}^{2}} = \sqrt{16}$

Veja que x² = 16 pode ter duas soluções, o 4 e o -4, pois elevar ao quadrado também transforma em módulo, logo devemos caracterizar isso com ±:

$\large \tt x = \pm \sqrt{16} = \pm4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 4 \wedge \: x_2 = -4}}}$

d) 3x² - 27 = 0

Esse é o mesmo caso da alternativa anterior, vamos resolver por resolução direta.

$\large \tt 3x^{2} - 27 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \tt 3 {x}^{2} = 27 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \tt {x}^{2} = \frac{27}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \tt {x}^{2} = 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \large \tt x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 3 \wedge \: x_2 = -3}}}$

e) -2x² = 0

Podemos resolver por fatoração, pois é do tipo ax² + bx = 0

$\large \tt x^2 - 2x = 0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \large \tt x(x - 2)=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\ \large \tt ou\: x = 0\:ou\: x - 2 =0 \Rightarrow x = 2 \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:x_1 = 0 \wedge x_2 = 2}}}$

f) -x² + x + 2 = 0

Resolvendo essa por soma e produto. Vamos calcular os coeficientes da soma e do produto.

$\large \tt S = \frac{ - 1}{ - 1} = \red 1 \: \: \: \\ \\ \large \tt P= \frac{2}{ - 1} = \red{ - 2}$

Precisamos encontrar dois números que somados resultem em 1 e simultaneamente quando multiplicados resultem em -2

$\large \tt x + y = 1 \leftrightarrow x =2 \wedge y = - 1 \: \\ \large \tt x \cdot y = - 2 \leftrightarrow x = 2 \wedge y = - 1 \\ \because \\ \large \tt x + y = 2 + ( - 1) = 1 \\ \wedge \\ \large \tt x \cdot y = 2 \cdot - 1 = - 2 \: \: \: \: \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore \: x_1 = 2 \wedge x_2 = -1}}}$