Question

1. Resolva e dê o resultado simplificado:
A) 4,6777...+0,234234...=
B) 2,34646...+1,32=
C) 4,1555...-1,2323...=
D) 3,01212...-4,5=

Answer 1

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⠀⠀☞ O resultado simplificado de cada item é: a) 16.357 / 3.330; b) 18.149 / 49.500; c) 1.447 / 495 ; d) -491 / 330. ✅

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⠀⠀ Para resolver cada uma das somas iremos primeiro reescrever os números da soma com um número de algarismos decimais igual à três vezes o número de algarismos da maior dízima, o que permitirá identificarmos qual será a dízima periódica do resultado. Tendo feito isto, converteremos este resultado para sua fração geratriz através do seguinte algoritmo:

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• ⠀ ⠀ I) Sendo x nosso número devemos multiplicá-lo por uma potência de 10 de forma que a dízima apareça uma única vez à esquerda da vírgula;

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• ⠀ ⠀ II) Subtrair o resultado com x multiplicado por uma potência de 10 de forma que a dízima fique imediatamente à direita da vírgula;

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• ⠀ ⠀ III) Igualar esta soma com x multiplicado pela diferença das duas potências encontradas anteriormente, resolvendo a expressão do lado esquerdo e isolando x do lado direito.

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf x \cdot 10^m - x \cdot 10^n = x \cdot (10^m - 10^n)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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A) 4,6777...+ 0,234234...

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$\LARGE\blue{\sf 4,677777777... + 0,234234234...}$

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$\LARGE\blue{\sf = 4,9\overline{120}}$

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$\blue{\Large\sf~4,9\overline{120}~\begin{cases}\sf 10.000 \cdot x - 10 \cdot x = (10.000 - 10) \cdot x \\\\ \sf 49.120,\overline{120} - 49,\overline{120} = 9.990x \\\\ \sf 49.071 = 9.990x \\\\ \sf x = \dfrac{49.071}{9.990} \end{cases}}$

⠀

⠀⠀Para encontrarmos a fração irredutível precisamos primeiro encontrar o M.D.C. de 49.071 e 9.990. Como o segundo número é mais fácil de fatorar, vamos fazê-lo e analisar se o 49.071 é divisível por algum dos fatores:

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$\LARGE\blue{\sf Fat(9.990) = 111 \cdot 9 \cdot 10}$

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$\LARGE\blue{\sf Fat(9.990) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 37}$

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⠀⠀Sendo 49.071 divisível somente por 3 então temos que a fração irredutível será:

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ \dfrac{16.357}{3.330} }~~~}}$ ✅

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B) 2,34646...+ 1,32

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$\LARGE\blue{\sf 2,3464646... + 1,32}$

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$\LARGE\blue{\sf = 3,666\overline{46}}$

⠀  

$\blue{\Large\sf~3,666\overline{46}~\begin{cases}\sf 100.000 \cdot x - 1.000 \cdot x = (100.000 - 1.000) \cdot x \\\\ \sf 366.646,\overline{46} - 3.666,\overline{46} = 990.000x \\\\ \sf 362.980 = 990.000x \\\\ \sf x = \dfrac{36.298}{99.000} \end{cases}}$

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$\LARGE\blue{\sf Fat(99.000) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 11 }$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{36.298 \div 2}{9.990 \div 2} = \dfrac{18.149}{49.500}}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ \dfrac{18.149}{49.500} }~~~}}$ ✅

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C) 4,1555... - 1,2323...

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$\LARGE\blue{\sf 4,155555... - 1,232323...}$

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$\LARGE\blue{\sf = 2,92\overline{32}}$

⠀  

$\blue{\Large\sf~2,92\overline{32}~\begin{cases}\sf 10.000 \cdot x - 100 \cdot x = (10.000 - 100) \cdot x \\\\ \sf 29.232,\overline{32} - 292,\overline{32} = 9.900x \\\\ \sf 28.940 = 9.900x \\\\ \ \sf x = \dfrac{2.894}{990} \end{cases}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf Fat(990) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 }$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{2.894 \div 2}{990 \div 2} = \dfrac{1.447}{495}}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{\dfrac{1.447}{495} }~~~}}$ ✅

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D) 3,01212... - 4,5

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$\LARGE\blue{\sf 3,0121212... - 4,5}$

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$\LARGE\blue{\sf = -1,48\overline{78}}$

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$\blue{\Large\sf~-1,48\overline{78}~\begin{cases}\sf 10.000 \cdot x - 100 \cdot x = (10.000 - 100) \cdot x \\\\ \sf -14.878,\overline{78} + 148,\overline{78} = 9.900x \\\\ \sf -14.730 = 9.900x \\\\ \sf x = \dfrac{-1.473}{990} \end{cases}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf Fat(990) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 }$

⠀

$\LARGE\blue{\sf \dfrac{-2.894 \div 3}{990 \div 3} = \dfrac{-491}{330}}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{\dfrac{-491}{330}}~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre dízimas periódicas e frações:

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