Question

1)Resolva as segintes equaçoes irracionais, mostrando o conjunto universo como o conjunto que estabelece a existencia da exlressao dada.
A)Raiza quadrada x+7=x+1
B)Raiz cubica 2x+21= 3
C) raiz quadrada 2x+3+6=3x
D)2x-15= raiz quadrada 3x-5

PFVV GNTT E MUITO IMPORTANTE! obgdd

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Daniela, que a resolução é simples.

Tem-se as seguintes expressões que, como postas, estamos entendendo que estejam escritas da seguinte forma (se não estiverem escritas da forma como vamos considerar, você informa, certo?):

a) √(x+7) = x + 1 --- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(x+7)]² = (x+1)² ------ desenvolvendo, teremos:
x + 7 = x² + 2x + 1 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² + 2x + 1 - x - 7 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² + x - 6 ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² + x - 6 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes reais:

x' = -3
x'' = 2

Agora note: apenas em princípio, os valores reais de "x" poderão ser os que acabamos de encontrar aí em cima, após aplicarmos Bháskara.
Mas só poderemos afirmar isso quando formos à igualdade original e substituir o "x" por cada valor encontrado e ver se a igualdade é mantida.
Então vamos ver:

a.i) Para x = - 3, na expressão original, que é: √(x+7) = x+1, teremos:

√(-3+7) = -3+1
√(4) = - 2 ----- como √(4) = 2, teremos:
2 = - 2 <--- Absurdo. Então a raiz x = - 3 deverá ser descartada, pois ela não satisfez à igualdade original.

a.ii) Para x = 2, na expressão original, que é: √(x+7) = x+1, teremos:

√(2+7) = 2+1
√(9) = 3 ----- como √(9) = 3, então:
3 = 3 <---- Perfeito. Então a raiz real x = 2 satisfaz à igualdade original.

Logo, ficaremos apenas com a segunda raiz real, que é:

x = 2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) ∛(2x+21) = 3 ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao cubo, ficando:

[∛(2x+21)]³ = 3³ ----- desenvolvendo, ficaremos com:
2x + 21 = 27 ----- passando "21" para o 2º membro, teremos:
2x = 27 - 21
2x = 6
x = 6/2
x = 3 <--- Esta é a resposta, pois quando você substitui o "x" da expressão original, ele satisfaz à igualdade. Veja, substituindo-se o "x" por "3" na igualdade original, que é: ∛(2x+21) = 3:

∛(2*3+21) = 3
∛(6+21) = 3
∛(27) = 3 ------ como ∛(27) = 3, teremos:
3 = 3 <---- Perfeito. Logo, a raiz real x = 3, como satisfaz à igualdade original, então ela é uma raiz válida. Por isso é que a resposta para a questão do item "b" é x = 3.

c) √(2x+3) + 6 = 3x ---- vamos passar o "6" para o 2º membro, ficando:

√(2x+3) = 3x - 6 ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(2x+3)]² = (3x-6)² ---- desenvolvendo, ficaremos:
2x + 3 = 9x² - 36x + 36 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 9x² - 36x + 36 - 2x - 3 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 9x² - 38x + 33 ---- vamos apenas inverter, ficando:
9x² - 38x + 33 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes reais:

x' = 11/9
x'' = 3

Agora vamos ver se ambas as raízes vão satisfazer à igualdade original.
 
c.i) Para x = 11/9, na igualdade original, que é: √(2x+3) + 6 = 3x, teremos:

√(2*11/9 + 3) + 6 = 3*11/9
√(22/9 + 3) + 6 = 33/9 ----- mmc, dentro do radical = 9. Assim:
√[(1*22+9*3)/9] + 6 = 33/9
√[(22+27)/9] + 6 = 33/9
√(49/9) + 6 = 33/9 ----- veja que √(49/9) = 7/3. Assim:
7/3 + 6 = 33/9 ----- mmc no 1º membro = 3. Assim:
(1*7 + 3*6)/3 = 33/9
(7+18)/3 = 33/9
(25)/3 = 33/9 ----- se, no 2º membro, dividirmos numerador e denominador por "3", iremos ficar com:

25/3 = 11/3 <--- Absurdo. Logo, descartaremos a raiz real x = 11/9, pois ela não é válida porque não satisfaz à igualdade original.

c.ii) Para x = 3, na expressão original, que é: √(2x+3) + 6 = 3x , teremos:

√(2*3 + 3) + 6 = 3*3
√(6+3) + 6 = 9
√(9) + 6 = 9 ----- como √(9) = 3, teremos:
3 + 6 = 9
9 = 9 <---- Perfeito. Logo a raiz real x = 3 é válida, pois satisfaz à igualdade original. Logo, a resposta será:

x = 3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

d) 2x-15= √(3x-5) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

(2x-15)² = [√(3x-5)]² ----- desenvolvendo, teremos;
4x² - 60x + 225 = 3x - 5 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
4x² - 60x + 225 - 3x + 5 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
4x² - 63x + 230 = 0 ---- aplicando Bháskara, você vai notar que esta equação tem o seu delta menor do que zero, o que significa que ela não tem raízes reais, mas apenas raízes complexas.
Logo, no conjunto dos números reais, você poderá afirmar que a questão não terá raízes e, como tal, o conjunto-solução será vazio, o que poderá ser apresentado da seguinte forma:

S = { }
ou
S = ∅

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.