Matemática, perguntado por hugok9877, 4 meses atrás

1) Resolva as multiplicações:

a) ( 6 + 5√7 ) ( 6 - 5√7 ) =

b) ( 5√7 - 3√2 ) ( 5√7 + 3√2 ) =

c) (5 - 3√2 )2 =

d) (2√5 - 3√2 )2 =

e) (3√3 + 5√2 )2 =

me ajudem é para amanhã.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Resolvendo as multiplicações, obtemos os seguintes resultados:

a) – 139
b) 157
c) 43 – 30√2
d) 38 – 12√10
e) 77 + 30√6

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Considerações

⠀⠀Nessa questão, temos alguns produtos e quadrados de expressões numéricas para desenvolver. Podemos fazer pela ''regra do chuveirinho'', sendo a propriedade distributiva, porém ter conhecimento de alguns produtos notáveis é importante para resolver essa espécie de questão mais rapidamente.. Veja que:

o quadrado da soma de dois termos é (m + n)² = m² + 2mn + n², sendo o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, somado ao quadrado do segundo termo.
o quadrado da diferença de dois termos é (m – n)² = m² – 2mn + n², sendo o quadrado do primeiro termo menos a duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, somado ao quadrado do segundo termo.
o produto da soma pela diferença de dois termos é (m + n)(m – n) = m² – n², sendo o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

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Resolução

Item A)

⠀⠀Note que aqui temos um produto da soma pela diferença de dois termos, onde 6: primeiro termo e 5√7: segundo termo:

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\big(6+5\sqrt{7}\big)\big(6-5\sqrt{7}\big)=(6)^2-\big(5\sqrt{7}\big)^2\\\\\big(6+5\sqrt{7}\big)\big(6-5\sqrt{7}\big)=36-(5)^2\big(\sqrt{7}\big)^2\\\\\big(6+5\sqrt{7}\big)\big(6-5\sqrt{7}\big)=36-25\cdot7\\\\\big(6+5\sqrt{7}\big)\big(6-5\sqrt{7}\big)=36-175\\\\\!\boxed{\big(6+5\sqrt{7}\big)\big(6-5\sqrt{7}\big)=-\,139}\end{array}}$

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Item B)

⠀⠀Aqui também temos um produto da soma pela diferença de dois termos, sendo 5√7: primeiro termo e 3√2: segundo termo:

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\big(5\sqrt{7}-3\sqrt{2}\big)\big(5\sqrt{7}+3\sqrt{2}\big)=\big(5\sqrt{7}\big)^2-\big(3\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(5\sqrt{7}-3\sqrt{2}\big)\big(5\sqrt{7}+3\sqrt{2}\big)=(5)^2\big(\sqrt{7}\big)^2-(3)^2\big(\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(5\sqrt{7}-3\sqrt{2}\big)\big(5\sqrt{7}+3\sqrt{2}\big)=25\cdot7-9\cdot2\\\\\big(5\sqrt{7}-3\sqrt{2}\big)\big(5\sqrt{7}+3\sqrt{2}\big)=175-18\\\\\!\boxed{\big(5\sqrt{7}-3\sqrt{2}\big)\big(5\sqrt{7}+3\sqrt{2}\big)=157}\end{array}}$

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Item C)

⠀⠀Agora nós temos um quadrado da diferença entre dois termos, onde 5: primeiro termo e 3√2: segundo termo:

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\big(5-3\sqrt{2}\big)^2=(5)^2-2(5)\big(3\sqrt{2}\big)+\big(3\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(5-3\sqrt{2}\big)^2=25-30\sqrt{2}+(3)^2\big(\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(5-3\sqrt{2}\big)^2=25-30\sqrt{2}+9\cdot2\\\\\big(5-3\sqrt{2}\big)^2=25-30\sqrt{2}+18\\\\\!\boxed{\big(5-3\sqrt{2}\big)^2=43-30\sqrt{2}}\end{array}}$

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Item D)

⠀⠀Novamente, temos mais um quadrado da diferença de dois termos, sendo agora 2√5: primeiro termo e 3√2: segundo termo:

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\big(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\big)^2=\big(2\sqrt{5}\big)^2-2\big(2\sqrt{5}\big)\big(3\sqrt{2}\big)+\big(3\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\big)^2=(2)^2\big(\sqrt{5}\big)^2-12\sqrt{10}+(3)^2\big(\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\big)^2=4\cdot5-12\sqrt{10}+9\cdot2\\\\\big(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\big)^2=20-12\sqrt{10}+18\\\\\!\boxed{\big(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\big)^2=38-12\sqrt{10}}\end{array}}$

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Item E)

⠀⠀Por fim, temos um quadrado da soma entre dois termos, onde 3√3: primeiro termo e 5√2: segundo termo:

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\big(3\sqrt{3}+5\sqrt{2}\big)^2=\big(3\sqrt{3}\big)^2+2\big(3\sqrt{3}\big)\big(5\sqrt{2}\big)+\big(5\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(3\sqrt{3}+5\sqrt{2}\big)^2=(3)^2\big(\sqrt{3}\big)^2+30\sqrt{6}+(5)^2\big(\sqrt{2}\big)^2\\\\\big(3\sqrt{3}+5\sqrt{2}\big)^2=9\cdot3+30\sqrt{6}+25\cdot2\\\\\big(3\sqrt{3}+5\sqrt{2}\big)^2=27+30\sqrt{6}+50\\\\\!\boxed{\big(3\sqrt{3}+5\sqrt{2}\big)^2=77+30\sqrt{6}}\end{array}}$

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⠀⠀E com isso se encerra a questão — os resultados finais estão no inicio da resposta e dentro da box na última linha das contas.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$