Question

1)resolva as equaçoes exponencias:
a) 3^x = 8
b) 2^x+1 =256
c) 7^3x=^3raiz de 7
2)determine o conjunto solução das equações:
a)49^x - 7.7^x + 12=0
b) 2^x+1 +2^x-1=40
c)9^x+1=27^x-3

Answer 1

EXERCÍCIO 1:

$a)3 ^{x}=8$

$log3 ^{x}=log8$

Aplicando a p3 (propriedade da potência de logaritmos), temos:

$logb ^{x}=x*log b$ 

$x*log3=log8$
 

Observe na calculadora os valores de log3 e log8, onde:

$log3=0,4771~~~log8=0,9030$

Substituindo os valores de log, temos:

$0,4771*x=0,9030$

$x= \frac{0,9030}{0,4771}$

$\boxed{x=1,8926}$


$b) 2 ^{x+1} =256$

Fatorando 256 em potência de base 2, temos:

$2 ^{x+1}=2 ^{8}$

Elimina as bases e trabalha com os expoentes:

$x+1=8$

$\boxed{x=7}$


$c)7 ^{3x}= \sqrt[3]{7}$

Aplicando a propriedade da radiciação, vem:

$7 ^{3x}= \sqrt[3]{7 ^{1} }$

$7 ^{3x}=7 ^{ \frac{1}{3} }$

$3x= \frac{1}{3}$

$\boxed{x= \frac{1}{9}}$


EXERCÍCIO 2:

$a)49 ^{x}-7*7 ^{x}+12=0$

Aplicando a propriedade da potenciação, vem:

$(7 ^{2}) ^{x}-7*7 ^{x}+12=0$

Trocando os dois primeiros expoentes, de posição, vem:

$(7 ^{x}) ^{2}-7*7 ^{x}+12=0$

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo $7 ^{x}=n$, temos:

$(n) ^{2}-7*(n)+12=0$

$n^{2}-7n+12=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau por Báskara ou soma e produto das raízes, obtemos as raízes

$n'=3:::n''=4$

Retomando a variável original, $7 ^{x}=n$:

Para n=3, temos:

$7 ^{x}=3$

Aplicando novamente a propriedade de log, vem:

$log7 ^{x}=log3$

$x*log7=log3$

Usando novamente a sua calculadora, descubra o valor de log7, pois de log3 você já tem. Log7=0,8450:

$x*0,8450=0,4771$

$x= \frac{0,4771}{0,8450}$

$\boxed{x=0,5646}$

 
Para n=4, temos:

$7 ^{x}=4$

$log7 ^{x} =log4$

Sabendo-se que log4=0,6020, temos:

$x*log7=log4$

Substituindo, vem:

$x*0,8450=0,6020$

$x= \frac{0,6020}{0,8450}$

$\boxed{x=0,7124}$


O conjunto solução será:

$\boxed{S=(0,5646; \left 0,7124)}$


$b)2 ^{x+1}+2 ^{x-1}=40$

Aplicando as propriedades da potenciação, vem:

$2 ^{x}.2 ^{1}+2 ^{x}. 2^{-1}=40$

$2.2 ^{x}+ \frac{1}{2}.2 ^{x}=40$

Utilizando novamente uma variável auxiliar, temos:

$2.(n)+ \frac{1}{2}.(n)=40$

$2n+ \frac{n}{2} =40$

Multiplicando os termos extremos por 2, temos:

$(2*2n)+n=2*40$

$5n=80$

$n= 16$

Retomando a variável original, temos:

$2 ^{x}=n$

$2 ^{x}=16$

$2 ^{x}=2 ^{4}$

$\boxed{x=4}$


$c)9 ^{x+1}=27 ^{x-3}$

Aplicando as propriedades da potenciação, pondo 9 e 27 em potência de base 3,  vem:

$(3 ^{2}) ^{x+1}=(3 ^{3}) ^{x-3}$

$3 ^{2x+2}=3 ^{3x-9}$

Eliminando as bases, podemos trabalhar com os expoentes:

$2x+2=3x-9$

$2x-3x=-9-2$

$-x=-11$

$\boxed{x=11}$



Espero ter ajudado e bons estudos!!!