1)resolva as equaçoes exponencias:
a) 3^x = 8
b) 2^x+1 =256
c) 7^3x=^3raiz de 7
2)determine o conjunto solução das equações:
a)49^x - 7.7^x + 12=0
b) 2^x+1 +2^x-1=40
c)9^x+1=27^x-3
korvo:
a 1a é 3^x ou 2^x???
Soluções para a tarefa
Respondido por
3
EXERCÍCIO 1:
![a)3 ^{x}=8 a)3 ^{x}=8](https://tex.z-dn.net/?f=a%293+%5E%7Bx%7D%3D8+)
![log3 ^{x}=log8 log3 ^{x}=log8](https://tex.z-dn.net/?f=log3+%5E%7Bx%7D%3Dlog8+)
Aplicando a p3 (propriedade da potência de logaritmos), temos:
![x*log3=log8 x*log3=log8](https://tex.z-dn.net/?f=x%2Alog3%3Dlog8)
Observe na calculadora os valores de log3 e log8, onde:
![log3=0,4771~~~log8=0,9030 log3=0,4771~~~log8=0,9030](https://tex.z-dn.net/?f=log3%3D0%2C4771%7E%7E%7Elog8%3D0%2C9030)
Substituindo os valores de log, temos:
![0,4771*x=0,9030 0,4771*x=0,9030](https://tex.z-dn.net/?f=0%2C4771%2Ax%3D0%2C9030)
![x= \frac{0,9030}{0,4771} x= \frac{0,9030}{0,4771}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7B0%2C9030%7D%7B0%2C4771%7D+)
![\boxed{x=1,8926} \boxed{x=1,8926}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D1%2C8926%7D)
![b) 2 ^{x+1} =256 b) 2 ^{x+1} =256](https://tex.z-dn.net/?f=b%29+2+%5E%7Bx%2B1%7D+%3D256)
Fatorando 256 em potência de base 2, temos:
![2 ^{x+1}=2 ^{8} 2 ^{x+1}=2 ^{8}](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5E%7Bx%2B1%7D%3D2+%5E%7B8%7D++)
Elimina as bases e trabalha com os expoentes:
![x+1=8 x+1=8](https://tex.z-dn.net/?f=x%2B1%3D8)
![\boxed{x=7} \boxed{x=7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D7%7D)
![c)7 ^{3x}= \sqrt[3]{7} c)7 ^{3x}= \sqrt[3]{7}](https://tex.z-dn.net/?f=c%297+%5E%7B3x%7D%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7B7%7D++)
Aplicando a propriedade da radiciação, vem:
![7 ^{3x}= \sqrt[3]{7 ^{1} } 7 ^{3x}= \sqrt[3]{7 ^{1} }](https://tex.z-dn.net/?f=7+%5E%7B3x%7D%3D++%5Csqrt%5B3%5D%7B7+%5E%7B1%7D+%7D+)
![7 ^{3x}=7 ^{ \frac{1}{3} } 7 ^{3x}=7 ^{ \frac{1}{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=7+%5E%7B3x%7D%3D7+%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D++)
![3x= \frac{1}{3} 3x= \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
![\boxed{x= \frac{1}{9}} \boxed{x= \frac{1}{9}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%7D+)
EXERCÍCIO 2:
![a)49 ^{x}-7*7 ^{x}+12=0 a)49 ^{x}-7*7 ^{x}+12=0](https://tex.z-dn.net/?f=a%2949+%5E%7Bx%7D-7%2A7+%5E%7Bx%7D%2B12%3D0++)
Aplicando a propriedade da potenciação, vem:
![(7 ^{2}) ^{x}-7*7 ^{x}+12=0 (7 ^{2}) ^{x}-7*7 ^{x}+12=0](https://tex.z-dn.net/?f=%287+%5E%7B2%7D%29+%5E%7Bx%7D-7%2A7+%5E%7Bx%7D%2B12%3D0+++)
Trocando os dois primeiros expoentes, de posição, vem:
![(7 ^{x}) ^{2}-7*7 ^{x}+12=0 (7 ^{x}) ^{2}-7*7 ^{x}+12=0](https://tex.z-dn.net/?f=%287+%5E%7Bx%7D%29+%5E%7B2%7D-7%2A7+%5E%7Bx%7D%2B12%3D0+++)
Utilizando uma variável auxiliar, fazendo
, temos:
![(n) ^{2}-7*(n)+12=0 (n) ^{2}-7*(n)+12=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28n%29+%5E%7B2%7D-7%2A%28n%29%2B12%3D0+)
![n^{2}-7n+12=0 n^{2}-7n+12=0](https://tex.z-dn.net/?f=+n%5E%7B2%7D-7n%2B12%3D0+)
Resolvendo esta equação do 2° grau por Báskara ou soma e produto das raízes, obtemos as raízes
![n'=3:::n''=4 n'=3:::n''=4](https://tex.z-dn.net/?f=n%27%3D3%3A%3A%3An%27%27%3D4)
Retomando a variável original,
:
Para n=3, temos:
![7 ^{x}=3 7 ^{x}=3](https://tex.z-dn.net/?f=7+%5E%7Bx%7D%3D3+)
Aplicando novamente a propriedade de log, vem:
![log7 ^{x}=log3 log7 ^{x}=log3](https://tex.z-dn.net/?f=log7+%5E%7Bx%7D%3Dlog3+)
![x*log7=log3 x*log7=log3](https://tex.z-dn.net/?f=x%2Alog7%3Dlog3)
Usando novamente a sua calculadora, descubra o valor de log7, pois de log3 você já tem. Log7=0,8450:
![x*0,8450=0,4771 x*0,8450=0,4771](https://tex.z-dn.net/?f=x%2A0%2C8450%3D0%2C4771)
![x= \frac{0,4771}{0,8450} x= \frac{0,4771}{0,8450}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7B0%2C4771%7D%7B0%2C8450%7D+)
![\boxed{x=0,5646} \boxed{x=0,5646}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D0%2C5646%7D)
Para n=4, temos:
![7 ^{x}=4 7 ^{x}=4](https://tex.z-dn.net/?f=7+%5E%7Bx%7D%3D4+)
![log7 ^{x} =log4 log7 ^{x} =log4](https://tex.z-dn.net/?f=log7+%5E%7Bx%7D+%3Dlog4)
Sabendo-se que log4=0,6020, temos:
![x*log7=log4 x*log7=log4](https://tex.z-dn.net/?f=x%2Alog7%3Dlog4)
Substituindo, vem:
![x*0,8450=0,6020 x*0,8450=0,6020](https://tex.z-dn.net/?f=x%2A0%2C8450%3D0%2C6020)
![x= \frac{0,6020}{0,8450} x= \frac{0,6020}{0,8450}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7B0%2C6020%7D%7B0%2C8450%7D+)
![\boxed{x=0,7124} \boxed{x=0,7124}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D0%2C7124%7D)
O conjunto solução será:
![\boxed{S=(0,5646; \left 0,7124)} \boxed{S=(0,5646; \left 0,7124)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7BS%3D%280%2C5646%3B+%5Cleft+0%2C7124%29%7D)
![b)2 ^{x+1}+2 ^{x-1}=40 b)2 ^{x+1}+2 ^{x-1}=40](https://tex.z-dn.net/?f=b%292+%5E%7Bx%2B1%7D%2B2+%5E%7Bx-1%7D%3D40++)
Aplicando as propriedades da potenciação, vem:
![2 ^{x}.2 ^{1}+2 ^{x}. 2^{-1}=40 2 ^{x}.2 ^{1}+2 ^{x}. 2^{-1}=40](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5E%7Bx%7D.2+%5E%7B1%7D%2B2+%5E%7Bx%7D.+2%5E%7B-1%7D%3D40++++)
![2.2 ^{x}+ \frac{1}{2}.2 ^{x}=40 2.2 ^{x}+ \frac{1}{2}.2 ^{x}=40](https://tex.z-dn.net/?f=2.2+%5E%7Bx%7D%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.2+%5E%7Bx%7D%3D40+++)
Utilizando novamente uma variável auxiliar, temos:
![2.(n)+ \frac{1}{2}.(n)=40 2.(n)+ \frac{1}{2}.(n)=40](https://tex.z-dn.net/?f=2.%28n%29%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%28n%29%3D40+)
![2n+ \frac{n}{2} =40 2n+ \frac{n}{2} =40](https://tex.z-dn.net/?f=2n%2B+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D+%3D40)
Multiplicando os termos extremos por 2, temos:
![(2*2n)+n=2*40 (2*2n)+n=2*40](https://tex.z-dn.net/?f=%282%2A2n%29%2Bn%3D2%2A40)
![5n=80 5n=80](https://tex.z-dn.net/?f=5n%3D80)
![n= 16 n= 16](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D+16)
Retomando a variável original, temos:
![2 ^{x}=n 2 ^{x}=n](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5E%7Bx%7D%3Dn+)
![2 ^{x}=16 2 ^{x}=16](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5E%7Bx%7D%3D16+)
![2 ^{x}=2 ^{4} 2 ^{x}=2 ^{4}](https://tex.z-dn.net/?f=2+%5E%7Bx%7D%3D2+%5E%7B4%7D++)
![\boxed{x=4} \boxed{x=4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D4%7D)
![c)9 ^{x+1}=27 ^{x-3} c)9 ^{x+1}=27 ^{x-3}](https://tex.z-dn.net/?f=c%299+%5E%7Bx%2B1%7D%3D27+%5E%7Bx-3%7D++)
Aplicando as propriedades da potenciação, pondo 9 e 27 em potência de base 3, vem:
![(3 ^{2}) ^{x+1}=(3 ^{3}) ^{x-3} (3 ^{2}) ^{x+1}=(3 ^{3}) ^{x-3}](https://tex.z-dn.net/?f=%283+%5E%7B2%7D%29+%5E%7Bx%2B1%7D%3D%283+%5E%7B3%7D%29+%5E%7Bx-3%7D++++)
![3 ^{2x+2}=3 ^{3x-9} 3 ^{2x+2}=3 ^{3x-9}](https://tex.z-dn.net/?f=3+%5E%7B2x%2B2%7D%3D3+%5E%7B3x-9%7D++)
Eliminando as bases, podemos trabalhar com os expoentes:
![2x+2=3x-9 2x+2=3x-9](https://tex.z-dn.net/?f=2x%2B2%3D3x-9)
![2x-3x=-9-2 2x-3x=-9-2](https://tex.z-dn.net/?f=2x-3x%3D-9-2)
![-x=-11 -x=-11](https://tex.z-dn.net/?f=-x%3D-11)
![\boxed{x=11} \boxed{x=11}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%3D11%7D)
Espero ter ajudado e bons estudos!!!
Aplicando a p3 (propriedade da potência de logaritmos), temos:
Observe na calculadora os valores de log3 e log8, onde:
Substituindo os valores de log, temos:
Fatorando 256 em potência de base 2, temos:
Elimina as bases e trabalha com os expoentes:
Aplicando a propriedade da radiciação, vem:
EXERCÍCIO 2:
Aplicando a propriedade da potenciação, vem:
Trocando os dois primeiros expoentes, de posição, vem:
Utilizando uma variável auxiliar, fazendo
Resolvendo esta equação do 2° grau por Báskara ou soma e produto das raízes, obtemos as raízes
Retomando a variável original,
Para n=3, temos:
Aplicando novamente a propriedade de log, vem:
Usando novamente a sua calculadora, descubra o valor de log7, pois de log3 você já tem. Log7=0,8450:
Para n=4, temos:
Sabendo-se que log4=0,6020, temos:
Substituindo, vem:
O conjunto solução será:
Aplicando as propriedades da potenciação, vem:
Utilizando novamente uma variável auxiliar, temos:
Multiplicando os termos extremos por 2, temos:
Retomando a variável original, temos:
Aplicando as propriedades da potenciação, pondo 9 e 27 em potência de base 3, vem:
Eliminando as bases, podemos trabalhar com os expoentes:
Espero ter ajudado e bons estudos!!!
Perguntas interessantes
Matemática,
1 ano atrás
Matemática,
1 ano atrás
História,
1 ano atrás
Matemática,
1 ano atrás
História,
1 ano atrás
Química,
1 ano atrás
Matemática,
1 ano atrás