Question

1)Resolva as equações do 2° grau dentro dos Números Complexos.
A) x² + 81 = 0
B) x² -- 6x + 10 = 0
C) - x² + 4x - 29 =0​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas equações, devemos relembrar de algumas propriedades.

a) $x^2+81=0$

Esta é uma equação do 2º grau incompleta. Para resolvê-la, subtraia $81$ em ambos os lados da equação.

$x^2=-81$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$x=\pm~\sqrt{-81}$

Sabendo que $81=9^2$ e que $i=\sqrt{-1}$, usando a propriedade de radicais $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$, temos

$x=\pm \sqrt{81}\cdot\sqrt{-1}\\\\\\ x=\pm~9\cdot i$

O conjunto solução desta equação é:

$S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(-9i,~9i)\}$

b) $x^2-6x+10=0$

Para resolvermos esta equação completa, utilizamos a fórmula resolutiva. Seja a equação completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq 0$, a solução é dada por:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substituindo o valor dos coeficientes $a=1,~b=-6$ e $c=10$, temos

$x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-40}}{2}$

Some os valores no radical

$x=\dfrac{6\pm\sqrt{-4}}{2}$

Da mesma forma, sabendo que $4=2^2$, utilize a propriedade de radicais

$x=\dfrac{6\pm2\cdot i}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{6-2i}{2}~~~~~~x=\dfrac{6+2i}{2}$

Simplifique as frações

$x=3-i~~~~~~x=3+i$

O conjunto solução desta equação é:

$S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(3-i,~3+i)\}$

c) $-x^2+4x-29=0$

Da mesma forma, utilize a fórmula resolutiva. Agora, os coeficientes são $a=-1, b=4$ e $c=-29$.

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot(-1)\cdot(-29)}}{2\cdot(-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-116}}{-2}$

Some os valores no radical

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-100}}{-2}$

Sabendo que $100=10^2$, utilize a propriedade de radicais assim como antes

$x=\dfrac{-4\pm 10\cdot i}{-2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-4+10i}{-2}~~~~~~x=\dfrac{-4-10i}{-2}$

Simplifique as frações

$x=2-5i~~~~~~x=2+5i$

O conjunto solução desta equação é dado por:

$S=\{x\in\mathbb{C}~|~x=(2-5i,~2+5i)\}$

Estas são as soluções destas equações para $x$ pertencente aos complexos.