Question

1) Resolva as equações biquadradas
a) 4x⁴-5x²+9=0
b)x⁴-8x²+15=0

Answer 1

a)x^4=(x^2)^2; x^2=y; (x^2)^2=y^2
   4x^4-5x^2+9=0
   4y^2-5y+9=0
Usando Báskara, com a=4, b=-5 e c=9 vem: y1=9/4 e y2=-1(NÃO SERVE)
y1=9/4; x1=3/2 e x2=-3/2; S={-3/2, 3/2}

b)Usando o mesmo raciocínio acima teremos:
x^4-8x^2+15=0
y^2-8y+15=0
Por Báskara, com a=1, b=-8 e c=15 vem: y1=5 e y=3
Para y1=5 temos x1=raiz quadrada de 5 e x2=raiz quadrada negativa de 5.
Para y2=3 temos x3=raiz quadrada de 3 e x4=raiz quadrada negativa de 3. 
S={raiz quadrada negativa de 5, raiz quadrada negativa 3, 3, 5}

Answer 2

a) 4x⁴ - 5x² + 9 = 0

Fazemos x⁴ = y² e x² = y para recairmos numa equação quadrática:

4y² – 5y + 9 = 0

Resolvemos com Bhaskara em que Δ vale:

Δ = (– 5)² – 4.(4).(9) = 25 – 144 = – 119

Como Δ possui valor negativo, essa equação não pode ser resolvida no conjunto dos reais.

---------------------------

b) x⁴ - 8x² + 15 = 0

Semelhante ao item anterior, fazemos:

x⁴ = y²
x² = y

Assim, teremos:

y² - 8y + 15 = 0

Δ = (-8)² – 4.1.15 = 64 - 60 = 4

$\displaystyle y' = \frac {8 + 2}{2}$

$\displaystyle y' = 5$

$\displaystyle y'' = \frac{8 - 2}{2}$

$\displaystyle y" = 3$

Assim:

$\displaystyle x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5}$

$\displaystyle x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3}$

$\displaystyle S = \left\{ \sqrt[]{5}; - \hspace{0,07cm} \sqrt[]{5} ; \sqrt[]{3} ; - \hspace{0,07cm} \sqrt[]{3} \right\}$

---------------------------