Question

1. Resolva a seguinte equação exponencial:
a) 2^x-3 + 2^x-1 + 2 = 52

2. Considerando log 2 = 0,3 log 3 = 0,48 e log 5 = 0,7, use as propriedades operatórias e calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) log de 192 na base 9
b) log de 90 na base 15
c) log de 15000 na base 10

Estou com dificuldades nessas questões, alguém poderia me ajudar

Answer 1

$2^{x - 3} + 2^{x - 1} + 2^x = 52 \\ \\ \frac{2^x}{2^3} + \frac{2^x}{2} + 2^x = 52 \\ \\ \frac{2^x}{8} + \frac{2^x}{2} + 2^x = 52 \\ \\ 2^x = y \\ \\ \frac{y}{8} + \frac{y}{2} + y = 52 \\ \\ y + 4y + 8y = 416 \\ 13y = 416  \\ \\ y = \frac{416}{13} \\ \\ y = 32 \\ \\ \\ \\ 2^x = y \\ 2^x = 32 \\ 2^x = 2^5 \\ x = 5$


S = {5}


$log_9192$

É só mudar a base. Como ele deu o valor de alguns logs na base 10, então vamos fazer isso:

$Log_9192 = \frac{log192}{log9} = \frac{log(2^6.3)}{log3^2} = \frac{log2^6 + log3}{2.log3} \\ \\ \frac{6.log2 + 0,48}{2.0,48} = \frac{6.0,3 + 0,48}{0,96} = \frac{1,8 + 0,48}{0,96} = \frac{2,28}{0,96} = 2,375$

$log_{15}90 = \frac{log90}{15} = \frac{log(3^2.2.5)}{log(3.5)} = \frac{log3^2 + log2 + log5}{log3 + log5} = \frac{2.log3 + 0,3 + 0,7}{0,48 + 0,7} \\ \\ \frac{2.0,48 + 1}{1,18} = \frac{0,96 + 1}{1,18} = \frac{1,96}{1,18}$

$log15000 = log(15.10^3) = log15 + log10^3 = log(5.3) + 3.log10 \\ log5 + log3 + 3 = 0,7 + 0,48 + 3 = 4,18$

Answer 2

Base elevado ao logaritmo é igual ao logaritmando tal que a base seja >0 é diferente de 1 e o logaritmando >0