Question

1) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits e^{x}sin~x } \, dx$

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int {e^x} sin(x) \, dx$

Usando integral por partes:

$\int {udv} = u\cdot v - \int {vdu}$

Temos:

$u = sin(x) \to du = cos(x) dx$

$dv = e^x dx \to v = \int {e^x} \, dx \to v = e^x$

Assim temos:

$\int {e^x} sin(x) \, dx = sin(x) \cdot e^x - \int {e^x} cos(x) \, dx$

Calculando:

$\int {e^x} cos(x) \, dx \\ \\ u = cos(x) \to du = - sin(x)dx \\ \\ dv = e^x dx \to v = \int {e^x} \, dx \to v =e^x$

$\int {e^x} cos(x) \, dx = cos(x) \cdot e^x - \int {e^x} \cdot (-sin(x)) \, dx \\ \\ \int {e^x} cos(x) \, dx = cos(x) \cdot e^x + \int {e^x} sin(x) \, dx$

Logo:

$\int {e^x} sin(x) \, dx = sin(x) \cdot e^x - \int {e^x} cos(x) \, dx \\ \\ \int {e^x} sin(x) \, dx = sin(x) \cdot e^x - (cos(x) \cdot e^x + \int {e^x} sin(x) \, dx) \\ \\ \int {e^x} sin(x) \, dx = sin(x) \cdot e^x - cos(x) \cdot e^x - \int {e^x} sin(x) \, dx \\ \\ 2 \cdot \int {e^x} sin(x) \, dx = sin(x) \cdot e^x - cos(x) \cdot e^x \\ \\ \int {e^x} sin(x) \, dx = \frac{sin(x) \cdot e^x - cos(x) \cdot e^x}{2} + C$

Answer 2

$\sf \int \:e^xsin \left(x\right)dx\\\\\\-e^xcos \left(x\right)-\int \:-e^xcos \left(x\right)dx\\\\\\-e^xcos \left(x\right)-\left(-\int \:e^xcos \left(x\right)dx\right)\\\\\\=-e^xcos \left(x\right)-\left(-\left(e^xsin \left(x\right)-\int \:e^xsin \left(x\right)dx\right)\right)\\\\\\\int \:e^xsin \left(x\right)dx=-e^xcos \left(x\right)-\left(-\left(e^xsin \left(x\right)-\int \:e^xsin \left(x\right)dx\right)\right)\\\\\\=-\dfrac{e^xcos \left(x\right)}{2}+\dfrac{e^xsin \left(x\right)}{2}$

$\to \boxed{\sf =-\dfrac{e^xcos \left(x\right)}{2}+\dfrac{e^xsin \left(x\right)}{2}+C}$