Question

1.Resolva a inequação :

$\dbinom{x}{0}+\dbinom{x}{1}+\dbinom{x}{2}+\dbinom{x}{3}+...+\dbinom{x}{x-1}+\dbinom{x}{x}\ \textless \ 500$

2. Qual o valor de "n" na expressão :

$\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}+...+\dbinom{n}{n} = 4095$

Explique passo a passo o desenvolvimento ... Relembrando cada propriedade ...

Answer 1

Resposta:

x < 8,96 ( sendo x um número natural) -> {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

n = 12

Explicação passo-a-passo:

Questão 1

O lado esquerdo da desigualdade é exatamente a linha x do triângulo aritmético de Pascal ou de  Tartáglia.

Teorema das linhas: a soma dos elementos da enésima linha é: $2^{n}$

Para a questão proposta temos que a soma do lado esquerdo é igual a: $2^{x}$

Sendo assim, a inequação se reduz a:

$2^{x} < 500\\\\ ln(2^{x}) < ln(500)\\\\x.ln2 < ln 500\\\\x < \frac{ln 500}{ln 2}\\\\ x< 8,96$

Como x é um número natural, temos: {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

Questão 2

Se somarmos o número binomial (n , 0) dos dois lados da equação dada, temos:

1) Do lado esquerdo teremos exatamente a enésima linha do triângulo de Pascal, cuja a soma é dada por $2^{x}$

2) Do lado direito teremos 4095 + (n , 0) = 4095 + 1, pois o primeiro termo da linha (n, 0) = 1.

Igualando ambos os lados, teremos:

$2^{n} =4096\\2^{n} =2^{12}\\n=12$

Bons estudos!!!

Answer 2

Resposta:

$2n = 4096 \: 2n {1}^{1 2} \: n = 12$

resposta simplificada