Question

1) Resolva a equação de Bernoulli abaixo:
dy/dx + 3y = 5y^2

Answer 1

A solução da equação diferencial de Bernoulli dada é $\boxed{\sf y=\dfrac{3}{-e^{3x +C}+5}}$

Solução:

Queremos encontrar a solução da seguinte equação de Bernoulli proposta:

$\sf \dfrac{dy}{dx}+3y = 5y^2\qquad \to \qquad y'+3y=5y^2\qquad \rm (I)$

Observe que a equação diferencial de Bernoulli que temos é expressa em sua forma característica, uma equação da forma $\sf y' + P(x)y = Q(x)y^n$ é chamada de equação diferencial de Bernoulli.

A equação diferencial de Bernoulli é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem formulada por Jacob Bernoulli no século XVII, estas são caracterizadas por terem um procedimento bastante complexo, sendo EDO de primeira ordem, a única maneira de resolvê-la é aplicando um tipo de substituição $\sf y^{1-n}=v$, então podemos reduzir nossa equação diferencial de Bernoulli a uma equação diferencial linear de primeira ordem que é muito mais fácil de resolver.

Fazendo a substituição podemos ver que:

$\sf y^{1-2}=v\qquad \to \qquad y^{-1}= v\\\\\\ \sf \left(y^{-1}\right)^{-1}=v^{-1}\qquad \to \qquad y= v^{-1}\qquad \rm(II)\\\\\\ \sf y'= -1\cdot v^{-1-1}v'\qquad \to\qquad y'=-v^{-2} v'\qquad\rm (III)$

Substituindo (II) e (III) na expressão (I), podemos ver que nossa equação diferencial de Bernoulli se torna:

$\sf -v^{-2} v' + 3 v^{-1} = 5 \left(v^{-1}\right)^2\qquad \to\qquad -v^{-2} v' + 3v^{-1} = 5 v^{-2}\qquad \rm(IV)$

Vamos simplificar a expressão (IV) para que no final obtenhamos uma equação diferencial um pouco mais fácil de resolver, para simplificação observe que $\sf v^{-2}$ é encontrado em ambos partes da igualdade portanto vamos tentar eliminar essa variável para isso vamos multiplicar ambas as partes da igualdade por $\sf v^2$ (seu oposto) de tal forma que obtemos :

$\sf v^2\cdot \left( -v^{-2} v' + 3v^{-1}\right) = v^2\cdot \left(5 v^{-2}\right)\qquad\to \qquad -v^{-2}v^2v' + 3v^{-1} v^2= 5v^{-2} v^2\\\\\\ \sf -v^{-2+2} v'+3v^{-1+2}=5v^{-2+2} \qquad \to \qquad -v' +3v=5$

Esta equação diferencial pode ser resolvida de forma mais simples, pois aplicando a manipulação algébrica podemos chegar à conclusão de que a EDO que temos é uma EDO de variáveis separáveis. Demonstração:

$\sf -v' +3v-3v=5-3v\qquad \to\qquad -v'=5-3v\\\\\\ \sf -\dfrac{dv}{dx} = 5-3v\qquad \to\qquad -\dfrac{dv}{5-3v} = dx\qquad \rm(IV)$

Vamos aplicar a integral indefinida na equação (IV), fazendo isso obtemos a solução de nossa equação diferencial ordinária, mas em relação à variável v.

$\sf \int -\dfrac{dv}{5-3v} = \int dx\qquad \to\qquad \dfrac{1}{3}~ln\left(5-3v\right)+C_1= x+C_2\\\\\\ \sf \dfrac{1}{3}~ln\left(5-3v\right)+\overbrace{\sf C_1-C_1 }^{\tt =~0}=x+\underbrace{\sf C_1+C_2}_{\tt =~C_3}\qquad \to\qquad\dfrac{1}{3}~ln\left(5-3v\right) =x+C_3 \\\\\\\ \sf\dfrac{1}{3} ~ln\left(5-3v\right)\cdot 3=3\left(x+C_3\right)\qquad\to\qquad ln\left(5-3v\right)=3x+\underbrace{\sf3C_3}_{\tt=C} \\\\\\ \sf e^{ln\left(5-3v\right)} = e^{3x +C}\qquad \to\qquad 5 - 3v = e^{3x+C} \\\\\\ \sf 5-3v -5= e^{3x+C} -5\qquad \to\qquad -3v=e^{3x+C} -5\\\\\\ \sf -3v \cdot -\dfrac{1}{3}=\left(e^{3x+C} -5 \right)\cdot -\dfrac{1}{3}\qquad \to\qquad v=-\dfrac{e^{3x+C}}{3} +\dfrac{5}{3}$

Lembremos que $\sf v=y^{-1}$ portanto a solução da equação diferencial de Bernoulli é igual a:

$\sf y^{-1} =-\dfrac{e^{3x+C}}{3} +\dfrac{5}{3}\qquad\to\qquad \boldsymbol{\blue{y=\dfrac{3}{-e^{3x+C}+5},~com~C\in \mathbb{R}}}$

Dúvidas? Não esqueça de comentar!!

Saudações e um grande abraço.