Question

1 — Quantos são os arranjos de 8 elementos, tomados 3 a 3? 2 — Calcule o valor de cada arranjo: a) A5,2 = b) A6,4 = c) A10,8 = d) A15,3 = 3 — Vinte equipes disputam o Campeonato Mineiro de Futebol. Quantas são as possibilidades de classificação nos dois primeiros lugares (campeão e vice-campeão)? 4 — Com as letras da palavra FUTEBOL, quantas “palavras” distintas formadas de 4 letras distintas podemos escrever? (As “palavras” não precisam ter sentido na linguagem comum). 5 — Um número de telefone celular é formado por 9 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 9 e terminem com 7.

Answer 1

Respostas do PET (volume 2) da semana 3 de matemática / Minas Gerais (Respostas não oficiais) "Feitas por mim"

1- A 8,3 = 336

2-

a) A5,2

A 5,2 = 5!/(5-2)!

A 5,2 = 5!/3!

A 5,2 = 5.4.3!/3!

A5,2 = 20

b) A6,4

A 6,4 = 6!/(6-4)!

A 6,4= 6!/2!

A6,4 = 6.5.4.3.2!/2!

A 6,4 = 30.12

A 6,4 = 360

c) A10,8

A 10,8 = 10!/(10-8)!

A 10,8 = 10!/2!

A 10,8 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2!/2!

A 10,8 = 10.72.42.60

A 10,8 = 720. 2520

A 10,8 = 1814400

d) A15,3​

A 15,3 = 15!/(15-3)!

A 15,3 = 15.14.13.12! / 12!

A 15,3 = 2730

3-

A20,2       20!/ (20-2)!        

                  20.19.18!/ 18!

                    20.19

                       380

4-

7.6.5.4= 840

5-  Resposta da questão 5 está nas fotos logo abaixo, as fotos estão numeradas na ordem certa que vocês vão copiar a resposta. Da esquerda para a direita que vocês iram olhar as fotos para copiar a resposta no caderno.

Obrigado pessoal, espero ter ajudado da melhor forma que consegui... Have a nice day (:

Answer 2

Na grande área da matemática, a combinatória é um ramo que aborda a formação de agrupamentos de elementos, quantitativamente, a partir de um determinado conjunto, sendo tais elementos submetidos a condições estabelecidas previamente. Entre os diversos problemas clássicos relacionados, estão os que envolvem permutações, arranjos e combinações.

No ensino de contagem, apesar de acontecer geralmente de professores optarem por iniciar apresentando tais problemas, as soluções de basicamente todos estes têm em comum o uso do princípio multiplicativo. Tal princípio é enunciado como segue:

Se alguma escolha pode ser feita de $m$ diferentes maneiras e alguma escolha subsequente pode ser feita de $n$ diferentes maneiras, há $m \cdot n$ maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. Esse princípio pode ser estendido quando forem realizadas mais escolhas sucessivas.

Outra noção específica importante é a notação de fatorial:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 2 . 1$

Com a finalidade de de analisar cada questão proposta, a resolução será dada em etapas.

(1)  Arranjo é um tipo de agrupamento em que os grupos formados além de se diferenciam pela natureza dos seus elementos, também se diferenciam pela ordem. Para calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos onde a ordem importa, fazemos:

$A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Com isso, como  e ,

$A_{3}^{8}=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Logo, tem-se no total 336 arranjos.

$\dotfill$

(2)  

a) $A_{2}^{5}$  

    Para tal, basta aplicar diretamente a fórmula:

  $A_{2}^{5}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$    

  b) $A_{4}^{6}$

  $A_{4}^{6}=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$

   

  c) $A_{8}^{10}$

  $A_{8}^{10}=\frac{10!}{(10-8)!}=\frac{10!}{2!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 1814400$

   

  d) $A_{3}^{15}$

   $A_{3}^{15}=\frac{15!}{(15-3)!}=\frac{15!}{12!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730$

$\dotfill$  

(3)  

  O problema em questão também envolve as ideias de arranjo. Note que procuramos o número de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto de 24 elementos, onde a ordem importa (campeão e vice-campeão).

Fazendo as contas:

 

Logo, são 552 as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares.  

 $\dotfill$  

(4)

Também, temos aqui um problema que envolve as noções sobre arranjo. Observe que, agora, procuramos o número de subconjuntos de 4 elementos (4 letras) de um conjunto de 7 elementos (Número de letras da palavra FUTEBOL), onde a ordem importa.

Assim,

$A_{4}^{7}=\frac{7!}{(7-4)!}=\frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$

Com isso, o número de palavras distintas formadas de 4 letras distintas que podemos escrever é 840.

$\dotfill$

(5)

Tal questão também traz as ideias de arranjo. Observe que, assim como nas questões anteriores, procuramos o número de maneiras de arranjar  elementos (agora são números) entre um total de possíveis.

Para fazer tal questão, basta utilizar que o número 9 deve ser fixado na 1ª posição e o 7 na última, restando, assim, 7 posições e 8 algarismos (considerando que eles precisem ser diferentes).

Fazendo o cálculo:

$A_{7}^{8}=\frac{8!}{(8-7)!}=\frac{8!}{1!} = 40320$

Logo, são 40320 números nessa configuração.

$\dotfill$

Veja também:

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