Question

1) Quantos elementos há na 12ª linha do Triângulo de Pascal? Qual é a soma desses elementos?
a)12 elementos, 8192
b)13 elementos, 4096
c)14 elementos, 2048
d)15 elementos, 3046

2) Desenvolvendo o número binomial abaixo, obtemos:
( 3
7 )

a)40
b)45
c)35
d) 70

3) Qual é o desenvolvimento do binômio:
(X+3)⁴=

a) 2x⁴ - 20x³ + 24x² - 10 x +1

b) 3x⁴ + 12x³ + 24x² + 30 +1

c) 6x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 81

d) x⁴ + 12x³ + 54x² + 108x + 81

4) Desenvolvendo-se o binômio abaixo, qual será soma dos seus coeficientes :
(2x + 3) ⁵
a) 3125
b) 650
c) 6250
d) 2145​

Answer 1

1  = 2^0 = 1

1 1  = 2^1 = 2

1 2 1 = 2^2 = 4

1 3 3 1  = 2^3 = 8

1 4 6 4 1  2^4 = 16

1)

As linhas são numeradas de acordo com o número elevado no 2.

O enunciado desse exercício está errado na questão 1:

No caso então a primeira linha é a linha 0.

A segunda linha se chama linha 1

A terceira linha se chama linha 2

...

A décima segunda linha será a linha 11 na verdade:

Ela têm 12 elementos e a soma deles é 2^11 = 2048

...

Porém acredito que o seu professor(a) quis dizer a linha cujo o expoente em cima do 2 é 12.

Então essa seria uma linha com 13 elementos e 2^12 = 4096 a soma deles.

Resultando na letra B

2) Esse enunciado também está errado, visto que o número de cima deve ser maior ou igual ao de baixo na notação binomial

O certo seria  (7 / 3)

$\frac{7!}{3!4!} =\frac{ 7*6*5}{3!} = 7*5 = 35$

Letra C é a resposta da 2

3) Use a linha com 2^4 no triângulo de Pascal.

1*x^4 + 4*3*x³  + 6*3²*x² + 4*3³*x + 1*3^4

x^4 + 12x³ +54x² + 108x + 81

Resposta é a letra D

4) Se quiser não é preciso escrever o x, visto que vamos trabalhar apenas com coeficientes:

$=\frac{5!}{0!\left(5-0\right)!}\left(2x\right)^5\cdot \:3^0+\frac{5!}{1!\left(5-1\right)!}\left(2x\right)^4\cdot \:3^1+\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}\left(2x\right)^3\cdot \:3^2+\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}\left(2x\right)^2\cdot \:3^3+\frac{5!}{4!\left(5-4\right)!}\left(2x\right)^1\cdot \:3^4+\frac{5!}{5!\left(5-5\right)!}\left(2x\right)^0\cdot \:3^5$

$=32x^5+240x^4+720x^3+1080x^2+810x+243$

A soma dos coeficientes é 3125.

Letra A