Question

1. Quantas palavras de 3 letras distintas podem ser formadas com as vogais do
nosso alfabeto?

2. Quantos anagramas da palavra PROBLEMA começam por Pe terminam por M?

3.Para cadastrar seus clientes, uma empresa utiliza 5 digitos. Os algarismos
utilizados são 1, 2, 3, 4, 5 (não é permitido repetir os algarismos). Determine o
número de códigos possíveis.​

Answer 1

U.F.Pelotas – RS

questão 1

Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.

a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?

b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas nesta ordem?

a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.

Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;

P3 = 3! = 3.2.1  =6

Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.

_____   _____   _____   _____   _____  

Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.

_____   _____   _____   _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.

Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.

  U   _  __E _   _____   _____   _____;

_____      U   _       E   _    _____   _____;

  _____   _____      U   _       E   _    _____;

 _____   _____   _____      U   _       E   _;

Ou seja, 4 possibilidades.

Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.

Possibilidades = 4.P2 .P3

P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E)

Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48

b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.

Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.

PEL ____ ____

____ PEL ____

____ ____ PEL

Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.

Possibilidades = 3.P2  

P2 = Permutação das letras (UF)

Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6

Temos então 6 possibilidades.                                                                         Um engenheiro de software deseja criar um programa que teste todas as possibilidades de senha de um sistema de uma empresa. A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois algarismos distintos. Sendo assim, responda:

a)      Quantas são as possíveis senhas de acesso?

b)      Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5?                                                              a) Neste caso não permutaremos todas as letras, pois não temos esse espaço, afinal a senha possui apenas 4 dígitos formados por letras. Isto vale também para os números. Portanto, utilizaremos o caso geral da permutação, que é o Arranjo.

Lembre-se:

Para as letras, temos:

 

Para os números, temos:

Com isso,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.

Senhas = 358800.90 = 32292000 possibilidades  

b) Agora temos restrições para as letras e para os números. Letras: apenas consoantes; e números: somente aqueles maiores que 5.

Teremos, então, 21 possíveis letras para as senhas e 4 números (6,7,8,9).

Com isso, nossa senha ficará da seguinte forma.

Para as letras, temos:  

Para os números, temos:  

Dessa forma,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.

Senhas = 143640.12 = 1723680 possibilidades