Question

1 ) Quando eu tinha 10 anos meu irmão mais novo tinha metade da minha idade, hoje tenho 30 anos. Quantos anos tem meu irmão?

2 ) Determine o número total de anagramas da palavra barraca.

3 ) A respeito dos anagramas da palavra sossego, determine. Quantos começam com a letra G?

4 ) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 20, determine a probabilidade de que seja retirada ao caso uma bola contendo um número múltiplo de 4.

5 ) Qual a probabilidade de sair número par num lançamento de um dado?

Answer 1

Resposta:

1) 25 anos.

2) 420 combinações.

3) 60 anagramas.

4) 1/4 de chances.

5) 1/2 de chances.

Explicação passo-a-passo:

1) Quando você tinha 10 anos, seu irmão tinha a metade, portanto, ele tinha 5 anos. A diferença entre vocês é de cinco anos, então, se você tem 30 anos, seu irmão tem 25.

2) O número de anagramas com repetições é dado por permutação com repetição:

$P_n^{a,b,c} = \frac{n!}{a! b! c!}$

Como BARRACA tem 7 letras, 2 repetições no R e 3 repetições no A, colocamos esses dados na fórmula:

$\frac{n!}{a! b! c!} = \frac{7!}{2! 3!} = 420$

3) Anagramas, novamente, envolvem permutação, mas necessitamos que todos comecem com G, então removemos a letra G do cálculo. A palavra SOSSEO (sem a letra G), tem 3 repetições do S e 2 da letra O, que serão postas na fórmula da permutação com repetição:

$P_n^{a,b,c} = \frac{6!}{3! 2!} = 60$

4) De 1 a 20, temos estes números múltiplos de 4:

$4,8,12,16,20$

A probabilidade de tirar uma bola numerada que seja múltiplo de quatro (ou seja, as cinco bolas acima) é de:

$P = \frac{elementos}{universo} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

5) Novamente, usamos a fórmula da probabilidade, sabendo que temos 3 números pares em um dado:

$P = \frac{elementos}{universo} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Espero ter ajudado. Abraços!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Neko, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

1ª questão: Note que nesta primeira questão está sendo informado que: quando eu tinha 10 anos o meu irmão mais novo tinha a metade da minha idade. Se hoje eu tenho 30 anos, quantos anos tem esse meu irmão mais novo?

Veja: se quando eu tinha 10 anos, o meu irmão mais novo tinha a metade da minha idade, então ele tinha 5 anos quando eu tinha 10 anos. Note que a diferença entre "10" anos da minha idade e de "5" anos da idade do meu irmão mais novo é de "5" anos. Logo, quando eu tiver 30 anos essa diferença de "5" anos continuará. Logo, quando eu tiver 30 anos o meu irmão mais novo terá:

25 anos <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. Ou seja, esta é a idade do irmão mais novo quando eu tivesse 30 anos.

2ª questão: Pede-se o total de anagramas da palavra BARRACA. Veja que essa palavra tem 7 letras e tem "3" letras "a" e tem "2" letras "r". Lembre-se que o total de anagramas com repetição é dado por permutação simples de "n" (que é o total de letras) dividida pelos fatoriais do número de cada letra repetida, ou seja:

P("n"; "a; b") = n!/a!b! ------- Assim, como barraca tem 7 letras, então "n" será igual a "7"; e considerando que as letras "a" e "r" se repetem, respectivamente, 3 e 2 vezes, então o total de anagramas será dado por:

7!/3!2! ------ desenvolvendo, temos:

= 7*6*5*4*3! / 3!2! ----- simplificando-se 3! do numerador com 3! do denominador, ficaremos apenas com:

= 7*6*5*4 / 2! ----- como 2! = 2*1 = 2, teremos:

= 7*6*5*4 / 2 ----- efetuando o produto inicado no numerador, temos:

= 840 / 2 = 420 anagramas <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.

3ª questão: A respeito dos anagramas da palavra SOSSEGO, determine quantos anagramas começam com a letra "G". Antes veja que a palavra SOSSEGO também 7 letras. Se estivesse sendo pedida a quantidade de anagramas dessa palavra começando com a letra G, então a resposta seria igual ao da palavra BARRACA, pois SOSSEGO também 7 letras e tem repetição de "3" letras "s" e de "2" letras "o". Logo, o total de anagramas seria exatamente igual ao da palavra "BARRACA" que já vimos antes. Mas note que aqui está sendo pedida a quantidade de anagramas que essa palavra terá mas sempre começando com a letra "G". Ora, se nós tomarmos a letra "G" e a colocarmos sempre começando a palavra, note que o que vai permutar serão apenas as demais 6 letras. Então, nesse caso, teremos a permutação de "6", com repetição das 3 letras "s" e das "2" letras "o", ficando assim:

6!/3!2! = 6*5*4*3|/3!2! ----- simplificando-se 3! do numerador com 3! do denominador, teremos:

= 6*5*4 / 2! ---- E como 2! = 2*1 = 2, teremos:

= 6*5*4 / 2 = 120/2 = 60 anagramas <--- Esta é a resposta da 3ª questão.

4ª questão:  Se uma urna contém bolas numeradas de "1" a "20", pede-se a probabilidade de que seja retirada, ao acaso, uma bola contendo um número múltiplo de "4".

Veja: de "1" a "20" os múltiplos de "4" são estes: 4; 8; 12; 16 e 20. Ou seja, entre "1" e "20" há 5 múltiplos de 4. Então a probabilidade será dada por:

5/20 ---- simplificando-se numerador e denominador por "5", teremos:

1/4 = 0,25 ou 25% <--- Esta é a resposta da 4ª questão.

5ª questão: Qual a probabilidade de sair um número par num lançamento de um dado?

Veja: um dado tem as suas seis faces numeradas com: "1", "2", "3", "4", "5" e "6". Note que dentre as seis faces numeradas, só há três números pares, que são: "2", "4" e "6". Logo, dentre as seis faces numeradas de um dado há três faces numeradas com números pares. Logo, a probabilidade será de:

3/6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficaremos com:

1/2 = 0,50 ou 50% <--- Esta é a resposta da 5ª questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.