Question

1) Qual é a medida dos ângulos indicados na figura a seguir? *
1 ponto
Imagem sem legenda
a) 180°
b) 160°
c) 150°
d) 120º
2) Determine a medida do ângulo x indicado na figura que segue. *
1 ponto
Imagem sem legenda
a) 120°
b) 150°
c) 180°
d) 210°

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

1)

10x + 50 e  4x + 110 são opostos pelo vértice e, portanto, têm a mesma medida.

Para saber a medida dos ângulos devemos determinar x primeiramente:

10x + 50 = 4x + 110

10x - 4x = 110 - 50

6x = 60

x = 60 : 6

x = 10°

Logo os ângulos medem:

10(10) + 50 = 100 + 50 = 150°

4(10) + 110 = 40 + 110 = 150°

Alternativa c) 150°

2)

Da mesma forma são opostos pelo vértice α + β e 2α - β.

α + β = 2α - β

2α - α = 2β

α = 2β

Já os ângulos 4α - 2β e α + β ou 2α - β são ângulos suplementares, isto é, somam 180°.

4α - 2β + 2α - β = 180°

6α - 3β = 180° (simplificando por 3)

2α - β = 60°

Montando o sistema:

α = 2β

2α - β = 60

_________

2 (2β) - β = 60

4β - β = 60

3β = 60

β = 60 : 3

β = 20

α = 2β

α = 2(20)

α = 40

Assim:

4α - 2β = 4(40) -2(20) = 160 - 40 = 120°

Como 4α - 2β e x são opostos pelo vértice:

4α - 2β = x = 120°

Alternativa A

Answer 2

Quanto a primeira questão, a medida dos ângulos é igual a 150º (Alternativa C). Já quanto a segunda questão, a medida do ângulo x é igual a 120º (Alternativa A).

Se observarmos as imagens dos dois exercícios, veremos que os ângulos das figuras são ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos opostos pelo vértice são aqueles oriundos do encontro entre dois segmentos de reta. Nesse sentido, dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Sendo assim, na primeira questão, os ângulos 10x + 50 e 4x + 110 possuem a mesma medida e podemos encontrar o valor de x da seguinte forma:

10x + 50 = 4x +110

10x - 4x = 110 - 50

6x = 60

x = 60 / 6

x = 10

Sabendo que x é igual a 10, basta substituirmos x nas equações dos ângulos:

10x + 50 = 4x + 110

10 . 10 + 50 = 4 . 10 + 110

100 + 50 = 40 + 110

150 = 150

Como vimos acima, a medida dos ângulos indicados na figura é de 150º (Alternativa C).

Já na segunda questão, os ângulos congruentes, ou seja, que possuem a mesma medida são:

• 4α - 2β = x

• 2α - β = α + β

Montando a equação com os ângulos congruentes, obteremos:

2α - β = α + β

2α - α = β + β

α = 2β

Note que precisamos encontrar o valor de α e β para encontrarmos a medida pedida no enunciado. Por isso, abaixo descobriremos o valor de β e posteriormente voltaremos a equação acima para substituí-lo.

Os ângulos suplementares, cuja soma é igual a 180º são:

• (4α - 2β) + (α + β) = 180;

• (4α - 2β) + (2α - β) = 180.

Agora, selecionando um dos dois ângulos suplementares acima, poderemos realizar a equação, lembrando que a = 2β:

(4α - 2β) + (2α - β) = 180

(4 . 2β - 2β + (2 . 2β - β) = 180

8β - 2β + 4β - β = 180

6β + 4β - β = 180

10β - β = 180

9β = 180

β = 180 / 9

β = 20

Agora que encontramos o valor de β, voltaremos ao cálculo dos ângulos congruentes presente no começo da questão:

α = 2β

α = 2 . 20

α = 40

Possuindo o valor de α e de β, substituiremos na equação x = 4α - 2β, a fim de encontrar o valor de x:

x = 4α - 2β

x = 4 . 40 - 2 . 20

x = 160 - 40

x = 120º

Conclui-se que a medida do ângulo x indicado na figura é igual a 120º (Alternativa A).

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