Question

1)Qual a soma dos multiplos de 5 no intervalo de 0 ate 90?

2)Gustavo deseja fazer uma economia da seguinte maneira.Primeiro dia guarda R$1,50 ,segundo dia guarda R$3,00 ,Terceiro dia guarda R$ 4,50 e assim por diantr ate completar 25 dias.Quanto terá economizado?

3)Quanto terá economizafo em 19 dias uma pessoq que no primeiro dia guardou R$3,00 e nos proximos dias guardoy R$2,00 a maid do que havia guardado no dia anterior?

4)Qual a soma dos termos da P.A (3,7,11,15...79)?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jaine, que, como informamos nos comentários da questão, vamos resolver apenas a primeira questão, exatamente como fez o outro usuário que já respondeu.

i) Pede-se a soma dos múltiplos de "5" no intervalo de "0" a "90".

Como informamos nos comentários, vamos considerar duas hipóteses:

i.a) Que o intervalo INCLUI os dois extremos (o "0" e o "90", pois note que o "0" é múltiplo de todo e qualquer número. Logo poderá ser múltiplo de "5". Enquanto que "90", por terminar em zero, é também múltiplo de "5"). Por isso é que estamos considerando esta hipótese. E, assim considerado, então vamos ter uma PA com a seguinte conformação:

(0; 5; 10; 15; 20; .......; 90) <--- Veja que se trata de uma PA cujo primeiro termo é "0", cujo último termo é "90" e cuja razão é "5", pois os múltiplos de "5" ocorrem de cinco em cinco unidades.  Primeiro vamos encontrar qual é o número de termos desta PA. Para isso, aplicaremos a fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

a ̪ = a₁ + (n-1)*r ----- nesta fórmula "a ̪" é o último termo (no caso é "90"); por sua vez "a₁" é o primeiro termo (no caso é "0"); por seu turno "n" é o número de termos (é o que vamos encontrar); e finalmente "r" é a razão (no caso é "5"). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

90 = 0 + (n-1)*5 ---- efetuando este produto, temos:

90 = 0 + 5n - 5 ----- ou apenas:

90 = 5n - 5 ---- passando "-5" para o 1º membro, temos:

90 + 5 = 5n

95 = 5n --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:

5n =95 ---- isolando "n", temos:

n = 95/5

n = 19 <--- Este é o número de termos se o intervalo incluir os extremos.

Agora vamos para a soma dos termos dessa PA. Note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada por:

S ̪  = (a₁ + a ̪)*n/2 ----- nesta fórmula substituiremos "S ̪ " por "S₁₉" (pois estamos querendo a soma dos 19 termos da PA; por sua vez substituiremos "a₁" por "0", que é o 1º termo da PA; por seu turno substituiremos "a ̪" por "90", que é o último da PA; e finalmente substituiremos "n" por "19" que é o número de termos da PA , quando consideramos o intervalo INCLUINDO os extremos. Assim:

S₁₉ = (0+90)*19/2 ---- ou apenas:

S₁₉ = (90)*19/2 ----- efetuando este produto, temos:

S₁₉ = 1.710/2 ---- efetuando esta divisão, temos:

S₁₉ = 855 <--- Esta é a soma pedida, se considerarmos que o intervalo INCLUI os dois extremos (ou seja, inclui o "0" e o "90").

i.b) Que o intervalo NÃO inclui os dois extremos (nem o "0" nem o "90"). Assim, a PA será esta:

(5; 10; 15; 20; .......; 85) <---- Veja que aqui temos uma PA cujo primeiro termo é "5" (pois é o 1º número, após o "0", que é múltiplo de "5"); cujo último termo é "85", pois é o último número, imediatamente antes do "90", que é múltiplo de "5"; e a razão será igual a "5", pois como vimos antes, os múltiplos de "5" ocorrem de cinco em cinco unidades. Então primeiro vamos encontrar o número de termos pela fórmula do termo geral, que é:

a ̪  = a₁ + (n-1)*r ----- substituindo-se "a ̪" por "85"; substituindo-se "a₁" por "5" e substituindo-se "r" por "5", teremos:

85 = 5 + (n-1)*5 ---- efetuando o produto indicado, teremos:

85 = 5 + 5n - 5 ----- ou apenas:

85 = 5n --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:

5n = 85

n = 85/5

n = 17 <--- Este é o número de termos se o intervalo NÃO incluir os dois extremos (nem o "0" e nem o "90").

Agora vamos para a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é dada assim:

S ̪  = (a₁+a ̪ )*n/2 ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

S₁₇ = (5+85)*17/2 ----- desenvolvendo, temos:

S₁₇ = (90)*17/2 ---- efetuando-se este produto, temos:

S₁₇ = 1.530/2 ---- efetuando-se esta divisão, temos:

S₁₇ = 765 <--- Esta é a soma pedida, se considerarmos que o intervalo NÃO inclui os dois extremos (ou seja, NÃO inclui nem o "0" e nem o "90").

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.