Question

1. Qual a função inversa de $f(x) = \frac{1}{x} ?$

2. Qual a função inversa de $f(x)=\frac{x + 1}{x - 1}?$

Answer 1

Vamos chamar de g(x) a função inversa de f(x).

Para encontrar a função g(x), que é função inversa de f(x), podemos isolar a variável "x" e, depois, fazer uma troca de variáveis: trocamos "x" por "g(x)" e "f(x)" por "x".

No caso do exercício 1), temos:

f(x) = 1/x

x.f(x) = 1

x = 1/f(x)

g(x) = 1/x

Portanto, a função inversa de f(x) = 1/x é g(x) = 1/x.

No caso do exercício 2), temos:

f(x) = (x + 1)/(x - 1)

(x - 1).f(x) = x + 1

x.f(x) - f(x) = x + 1

x.f(x) - x = f(x) + 1

x(f(x) - 1) = f(x) + 1

x = (f(x) + 1)/(f(x) - 1)

g(x) = (x + 1)/(x - 1)

Portanto, a função inversa de f(x) = (x + 1)/(x - 1) é g(x) = (x + 1)/(x - 1).

Você deve ter percebido que, nos dois casos, g(x) é igual a f(x). Isso ocorreu devido a uma propriedade das funções inversas. A função inversa é sempre simétrica em relação à função que deu origem a ela, sendo a reta y = x, que passa pela origem, o eixo de simetria. As funções f(x) = 1/x e f(x) = (x + 1)/(x - 1) já são naturalmente simétricas em relação à origem, portanto as funções inversas delas são elas mesmo.