Question

1 - Qual a diferença das soluções da equação Ix²-1I-I2x²-10I=0 ? *

1 ponto

a) 3

b) 9

c) -3

d) 0
​

Answer 1

Resposta:

Letra D

Acabei de fazer e tava certo

Answer 2

Utilizando conceitos de equações modulares e algebricas, temos que a diferença entre as soluções desta equação é igual a 6.

Explicação passo-a-passo:

Quando temos equações modulares, temos que tomar muito cuidado, pois modulos sempre separam as soluções em duas para cada modulo, pois o modulo não muda nada para valores positivos, e inverte o sinal de tudo dentro deste caso seja negativo, pois assim o resultado final é sempre positivo.

Desta forma, como temos dois modulos, temos que separar esta questão em 4 partes:

Quando x²-1 > 0 e 2x²-10 > 0:

Neste caso, ambos os interiores dos modulos são positivos e portanto não mudam nada, com isso podemos retirar os modulos:

$(x^2-1)-(2x²-10)=0$

Resolvendo esta equação para x:

$x^2-1-2x²+10=0$

$-x^2+9=0$

$x^2=9$

$x=\pm\sqrt{9}$

$x=\pm 3$

Assim temos duas soluções para este caso:

$x_1= - 3$

$x_2= 3$

Mas não podemos considerar estes resultados ainda, temos que verificar se eles obedecem nossas condições x²-1 > 0 e 2x²-10 > 0, substituindo o valor de x nestes e vendo se eles mantem a desigualdade correta:

$x^2-1>0$

$(-3)^2-1>0$

$9-1>0$

$8>0$ (Está correto!)

$2x^2-10>0$

$2(-3)^2-10>0$

$2.9-10>0$

$18-10>0$

$8>0$ (Está correto!)

$x^2-1>0$

$(3)^2-1>0$

$9-1>0$

$8>0$ (Está correto!)

$2x^2-10>0$

$2(3)^2-10>0$

$2.9-10>0$

$18-10>0$

$8>0$ (Está correto!)

Assim como podemos ver, ambos deram certo, então x = -3 e x = 3 são soluções de fato.

Quando x²-1 < 0 e 2x²-10 < 0:

Este caso é redundante, pois quando ambos são de valores negativos, o sinal irá inverter em ambos, e é a mesma coisas que multiplicar a solução anterior por -1, ou seja, teremos o mesmo resultado que a etapa anterior.

Quando x²-1 < 0 e 2x²-10 > 0:

Neste caso, temos que somente o primeiro modulo é negativo, então ele vai ter o sinal invertido:

$-(x^2-1)-(2x²-10)=0$

Resolvendo para x:

$-x^2+1-2x²+10=0$

$-3x^2+11=0$

$x^2=\frac{11}{3}$

$x=\pm\sqrt{\frac{11}{3}}$

$x=\pm 1,91$

Agora temos mais dois resultados aproximados, x = -1,91 e x = 1,91. Então vamos verificar se eles obedecem as duas condições x²-1 < 0 e 2x²-10 > 0:

$x^2-1<0$

$(-1,91)^2-1<0$

$3,66-1<0$

$2,66<0$ (Falso! x = -1,91 está eliminado)

$x^2-1<0$

$(1,91)^2-1<0$

$3,66-1<0$

$2,66<0$ (Falso! x = 1,91 está eliminado)

Assim ambas as soluções não são validas e nem precisamos usar a condição de 2x²-10 > 0.

Quando x²-1 > 0 e 2x²-10 < 0:

Este caso, tem resultado redundante ao anterior, pois ele é o oposto em sinal dos resultados, mas da mesma forma, ambos irão falhar na verificação assim como na vaerificação anterior.

Resultado Final:

Assim verificando os 4 caso, temos que somente dois resultados foram validos, estes são x = 3 e x = -3, assim basta fazermos a diferença destes resultados:

3 - (-3) = 3 + 3 = 6

Assim temos que a diferença entre as soluções desta equação é igual a 6.

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