Question

1) Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x² + 4x + 5? (Lembre-se que i² = -1).
a) -2 + i e -2 – i
b) -1 + i e -1 – i
c) -2 + i e -1 + i
d) -1 + 2i e -1 + i
2) Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x² - 1)i seja um número real?
a) x = mais ou menos 1
b) x = mais ou menos 3
c) x = mais ou menos 4
d) x = mais ou menos 2​

Answer 1

1) $\sf\large\boxed{ \ \ \ a)\ -2 + i\ e\ -2 - i \ \ \ }$

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2) $\sf\large\boxed{ \ \ \ a)\ x = mais\ ou\ menos\ 1 \ \ \ }$

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$\sf\underline{Explicac_{\!\!\!,}\tilde{a}o\ passo-a-passo:{\qquad \qquad}}$✍

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☺lá, Liliane, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗

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☔ Confira abaixo a manipulação algébrica para encontrarmos nossas raízes e após a resposta final confira um resumo sobre funções polinomiais de segundo grau, que acredito que te ajudará a entender não só a resolução abaixo como também outros exercícios envolvendo este tipo de função, e também um link com um resumo sobre monômios e polinômios. ✌

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1)____________________________✍

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F(x) = 1x² + 4x + 5 = 0

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➡ a = 1

➡ b = 4

➡ c = 5

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$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5$

$\Delta = 16 - 20$

$\boxed{ \ \ \ \Delta = -4\ \ \ }$

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☔ Como Δ<0 então não teremos nenhuma raiz (no conjunto dos Reais), ou seja, nossa parábola não irá cruzar e nem tocar o eixo x.

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$x_{1} = \dfrac{-4 + \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 + 2i}{2} = -2 + i$

$\sf\large\boxed{ \ \ \ x_{1} = -2 + i \ \ \ }$

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$x_{2} = \dfrac{-4 - \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 - 2i}{2} = -2 - i$

$\sf\large\boxed{ \ \ \ x_{2} = -2 + i \ \ \ }$

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$\sf\large\boxed{ \ \ \ a)\ -2 + i\ e\ -2 - i \ \ \ }$ ✅

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2)____________________________✍

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☔ Temos que para que nosso número Z seja um número real, a multiplicação de (x² - 1) * i deve resultar em número real, porém como temos que

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➡ (x² - 1) * i

➡ i(x²) - i

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então temos que esta subtração deverá ser igual a zero (tendo em vista que essa é a única forma de resultarmos em um número real ou caso contrário somente colocaríamos o i em evidência na subtração e resultaríamos novamente em um número imaginário). Portanto

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➡ i(x²) - i = 0

➡ i(x²) = i

➡ x² = i/i

➡ x² = 1

➡ √(x²) = ±√1

➡ x = ±1

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$\sf\large\boxed{ \ \ \ a)\ x = mais\ ou\ menos\ 1 \ \ \ }$ ✅

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FUNÇÕES DE SEGUNDO GRAU

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☔ O que significa, afinal, “encontrar as raízes” de um equação? Significa encontrar os valores de x para que f(x) seja igual a zero, ou seja, os valores de x em que nossa função “cruza” com o eixo das abscissas (x).

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☔ Chamamos de Fórmula de Bháskara a resolução para encontrar as raízes de uma equação polinomial de segundo grau, dada na forma

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c & \\ & & \\ \end{array}}$

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☔ através de uma manipulação algébrica entre os coeficientes a, b, e c de tal forma que um valor Δ seja descoberto, sendo

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c & \\ & & \\ \end{array}}$

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☔ Este valor Δ pode nos dizer 3 coisas:

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➡ Δ > 0 nos diz que o polinômio tem duas raízes definidas no conjunto dos Reais;

➡ Δ = 0 nos diz que o polinômio tem somente uma raiz definida no conjunto dos Reais;

➡ Δ < 0 nos diz que o polinômio não tem nenhuma raiz definida no conjunto dos Reais;

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☔ Temos também que a parábola formada por essa função terá um vértice Pm = (xm,ym) mínimo de y caso a > 0 ou um valor máximo de y caso a < 0 tais que Pm = (-b/2a, -Δ/4a).

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☔ Com o valor de Δ, nosso delta (ou também chamado de discriminante) em mãos podemos então encontrar o valor de nossa raiz através da equação

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} &  \\ & & \\ \end{array}}$

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$\begin{cases}x_{1}= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\\\\\\ x_{2}= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\end{cases}$

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☔ Sendo x1 ≥ x2.

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✋ Curiosidade: só no Brasil chamamos este método de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou o método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas. ✋

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✈Sobre monômios e polinômios (https://brainly.com.br/tarefa/36005381)

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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❄☃ $\sf(+\ cores\ com\ o\ App\ Brainly)$ ☘☀

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$\textit{"Absque\ sudore\ et\ labore\ nullum\ opus\ perfectum\ est."}$

Answer 2

1) Os valores de x que satisfazem a equação dada são x' = -2 + i e x'' = -2 - i.  A alternativa A é a correta.

2) Os valores de x que tornam o número complexo real são x = ±1. A alternativa A é a correta.

Para determinar as respostas corretas, precisamos utilizar a fórmula de Bhaskara e identificar as partes de um número complexo.

Questão 1

Podemos determinar as raízes de qualquer equação do 2º grau pela fórmula de Bhaskara.

• Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma maneira de determinar as raízes de equações do 2º grau. Podemos utilizada independentemente se as raízes são reais ou complexas.

A fórmula de Bhaskara é dada por:

$\boxed{ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}- 4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} }$

Os coeficientes da equação dada são:

• a = 4;

• b = 1;

• c = 5;

Substituindo os valores dos coeficientes na fórmula:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}- 4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\\\x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^{2}- 4\cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\\\x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16- 20}}{2} \\\\x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} \\\\x = \dfrac{-4 \pm \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}}{2}$

Sabendo que i = √-1:

$x = \dfrac{-4 \pm 2i}{2} \\\\\boxed{\boxed{x' = -2+i \text{ ou } x'' = -2-i }}$

As raízes da equação são x' = -2+i e x'' = -2-i. A alternativa A é a correta.

Note que as raízes são complexas e conjugadas (se uma raiz complexa é solução de uma equação, então seu conjugado também será.

Questão 2

Para determinar os valores de x pedidos, precisamos determinar quando temos um número complexo.

• Número Complexo

Todo número complexo z pode ser escrito da seguinte forma:

$\boxed{ z = a+b \cdot i }$

Sendo:

• a : a parte real do número;
• b : a parte imaginária do número.

Nesse sentido, para que um valor seja puramente real, precisamos que sua parte imaginária seja anulada, ou seja, seja igual a zero.

Do enunciado, o número complexo dado é: z = x + (x²-1)i. Observe que a parte imaginária do número é (x²-1).

Igualando a parte imaginária a zero:

$x^{2}-1 = 0 \\\\x^{2}=1 \\\\\boxed{\boxed{ x = \pm 1 }}$

Nesse caso, o número complexo z assume os valores de z =  -1 e z = 1.

Assim, para x ±1 o número complexo z é puramente real. A alternativa A é a correta.

Para saber mais sobre Números Complexos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/39262970

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ3