Question

1)Quais as equações das retas tangentes a circunferência x²+y²-2x-8y+8=0 e perpendiculares a reta x/3+y/2=1 ? ?
2) Quais as equações das retas tangentes à circunferência x²+y²-4x-2y+1=0 e que passam pelo ponto de intersecção das retas x – y – 3 = 0 e 2x +y = 1 = 0.
3) Determine a equação das retas tangentes à circunferência x²+y²-2x-4y-4=0 e paralelas a reta 3x – 4y -2 = 0 ?

Answer 1

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Ola Charles

1)

equação geral
x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0

complete os quadrados 
x² - 2x + 1 - 1 + y² - 8y + 16 - 16 + 8 = 0

equação reduzida
(x - 1)² + (y - 4)² = 1 + 16 - 8 = 9

as retas tangentes são perpendiculares a reta x/3 + y/2 = 1

2x + 3y - 6 = 0
3y = -2x + 6
y = (-2x + 6)/3

m1 = -2/3
m2 = 3/2

y = (3x + k)/2
3x - 2y + k = 0

a distancia das retas ao centro da circunferências é igual ao raio

d = |Axc + Byc + C|/√(A² + B²) 

A = 3
B = -2
C = k

xc = 1
yc = 4

d = |3*1 - 2*4 + k|/√(9 + 4) = 3 

k - 5 = 3√13 
k = 5 + 3√13

k - 5 = -3√13
k = 5 - 3√13

equações das retas tangentes 
3x - 2y +  5 + 3√13 = 0
3x - 2y + 5 - 3√13 = 0 

2)

equação geral
x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0

complete os quadrados 
x² - 4x + 4 - 4 + y² - 2y + 1 - 1 - 4 = 0

equação reduzida
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 + 1 + 4 = 9

x - y  = 3 
2x + y  = -1

3x = 2
x = 2/3

y = -1 - 2x 
y = -3/3 - 4/3 = -7/3

ponto P(2/3, -7/3) 

(3y + 7)/3 = m*(3x - 2)/3

3y + 7 = 3mx - 2m 

distancia = raio

d = |3mx - 3y - 2m - 7|/√(9m² + 9) = 3

m1 = 0.20376
m2 = -1.4354

equações tangentes 

y + 7/3 = 0.20376*(x - 2/3) 
y = 0.20376 x - 2.46917

y + 7/3 = -1.4345*(x - 2/3) 
y = -1.4345 x - 1.377

3)

equação geral
x² + y² - 2x - 4y + 4 = 0

complete os quadrados 
x² - 2x + 1 - 1 + y² - 4y + 4 - 4 + 4 = 0

equação reduzida
(x - 1)² + (y - 2)² = 1 

retas tangentes paralelas a reta 3x - 4y - 2 = 0

a distancia das retas ao centro da circunferências é igual ao raio

A = 3
B = -4
C = k

xc = 1
yc = 2
r = 1

r = |3*1 - 4*2 + k|/√(3² + (-4)²) = 1

k - 5 = 5
k = 10

k - 5 = -5
k = 0 

as equações das retas tangentes 

3x - 4y + 10 = 0
3x - 4y = 0


gráficos