Question

1)
Prove que , quaisquer que sejamos inteiros a e b, a expressão a + b + a² + b²
representam um número par.

 

2)
Na divisão euclidiana de 802 por a, o quociente é 14. Determine os valores
possíveis de a e do resto.

Answer 1

1) Veja que, se $a$ é par, $a^2$ também será.

Se $a$ é ímpar, $a^2$ também é.

O mesmo acontece com $b$ e $b^2$.

Com isso, $a^2+a$ é um número par e $b^2+b$ também é um número par.

Portanto, $a^2+a+b^2+b$ representa um número par.

2) $b=aq+r$

$802=14a+r$

Veja que, $0\le r<a$.

Uma solução particular é $(a,r)=(57,4)$.

As soluções gerais são

$a=57+t$ e $r=4-14t$

Mas, como $0\le r<a$, temos

$0\le4-14t<57+t$

Isto é, $-3<t\le0$, logo, $t=\{-3,-2,-1,0\}$.

$(a,b)=(54,46),(55,32),(56,18),(57,4)$