Question

1) Prove que (1+i.tg θ)/(1-i.tg θ)=cos⁡[2θ+i.sen 2θ]

Answer 1

• No desenvolvimento dessa comprovação será necessário utilizar algumas Identidades Trigonométricas.

$\large \textcircled 1 \qquad \sf1+tg^{^2} \theta = sec^{^2}\theta$

$\large \textcircled 2 \qquad\sf tg\ \theta = \dfrac{sen \ \theta}{cos \ \theta}$

$\large \textcircled 3 \qquad\sf sec \ \theta = \dfrac{1}{cos \ \theta}$

$\large \textcircled 4 \qquad \sf cos^{^2}\theta - sen^{^2}\theta = cos (2 \theta)$

$\large \textcircled 5 \qquad \sf 2 \cdot sen\ \theta \cdot cos \ \theta = sen (2 \theta)$

• Serão necessárias também as seguintes Transformações Trigonométricas:

$\large \text { \textcircled A \qquad\sf \dfrac{tg \ \theta}{sec^{^2} \theta} = \dfrac{\quad \dfrac {sen \ \theta}{cos \ \theta} \quad }{\dfrac {1}{cos^{^2} \theta}} = \dfrac {sen \ \theta}{cos \ \theta} \cdot \dfrac{cos^{^2} \theta}{1} = sen \ \theta \cdot cos \ \theta }$

$\large \text { \textcircled B \qquad\sf \dfrac{tg^{^2} \ \theta}{sec^{^2} \theta} = \dfrac{\quad \dfrac {sen^{^2}\theta}{cos^{^2}\theta} \quad }{\dfrac {1}{cos^{^2} \theta}} = \dfrac {sen^{^2}\theta}{cos^{^2}\theta} \cdot \dfrac{cos^{^2} \theta}{1} = sen^{^2}\theta }$

• Na razão apresentada pelo enunciado, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador (observe que isso é o equivalente a multiplicar por 1 e também que i² = −1).

$\large \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} \cdot \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1+i \cdot tg \ \theta}$

$\large \text { \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = \dfrac {1+2i \cdot tg \ \theta - tg^{^2} \theta}{1+i \cdot tg \ \theta - i \cdot tg \ \theta + tg^{^2} \theta} }$

$\large \text { \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = \dfrac {1+2i \cdot tg \ \theta - tg^{^2} \theta}{1+tg^{^2} \theta} }$

• Substitua o denominador usando a Identidade ①.

$\large \text { \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = \dfrac {1+2 i \cdot tg \ \theta - tg^{^2} \theta}{sec^{^2} \theta} }$

$\large \text { \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = \dfrac {1}{sec^{^2} \theta} + 2 i \cdot \dfrac {tg \ \theta}{sec^{^2} \theta} - \dfrac {tg^{^2} \theta}{sec^{^2} \theta} }$

• Substitua o primeiro termo usando a Identidade ②, o segundo termo usando a transformação A e o terceiro termo usando a  transformação B.

$\large \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = cos^{^2} \theta + 2i \cdot sen \ \theta \cdot cos \theta - sen^{^2} \theta$

• Substitua o primeiro e terceiro termos pela identidade ④ e o segundo termo pela identidade ⑤.

$\large \dfrac{1+i \cdot tg \ \theta}{1-i \cdot tg \ \theta} = cos(2 \theta) + i \cdot sen(2\theta)$

Observe que o enunciado deve ter algum erro de digitação, bastando retirar os colchetes no segundo membro.

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