Question

1)Prove que 1/a(b+c)+1/b(c+a)+1/c(a+b)+3=0 quando a+b+c=0

2)Prove que quando a+b+c=0,a igualdade a^3+b^3+c^3=3abc é verdadeira
Dica:De a+b+c=0,considere c=-(a+b)

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Answer 1

1 / a (b + c) + 1/b(c +a) + 1/ c(a+b). tirando o mm.

a(b +c) x b(c +a) x c(a +b) agora com esse mmc divide pelo debaixo e multiplica em cima fica

b(c +a). c(a +b) + a(b +c).c (a +b) + a(b+ c).b(c+a)/a(b +c) x b(c +a) x c(a +b)

b(c +a). c(a +b) + a(b +c).c (a +b) + a(b+ c).b(c+a) +3.a(b +c) x b(c +a) x c(a +b)

logo fica

bc + ba. ca + cb + ab + ac. ca + cb + ab + ac. bc + ba

bc + 2abc + cb + ab + 2ac + cb + ab + 2cab +ba

2bc + 4abc + 3ab + 2ac como a + b + c = 0 é se trata de sucessivas multiplicação tudo é = 0

Answer 2

1).

$\frac{1}{a} .(b + c) + \frac{1}{b} .(c + a) + \frac{1}{c} .(a + b) + 3 = 0$

Temos que a + b + c = 0. Vamos fazer algumas manipulações de forma que possamos cancelar alguns termos.

$a + b + c = 0 \\ \boxed{ c = - a - b} \\ \\ a + b + c = 0 \\ \boxed{ b = - c - a} \\ \\ a + b + c = 0 \\ \boxed{a = - b - c}$

Agora vamos substituir esses valores nos locais das incógnitas entre parênteses.

$\frac{1}{a} ( - c - a + c) + \frac{1}{b} ( - a - b+ a) + \frac{1}{c}( - b- c + b) + 3 = 0 \\ \\ \frac{1}{a} .( - a) + \frac{1}{b} .( - b) + \frac{1}{c} . ( - c) + 3 = 0 \\ \\ \frac{ - a}{a} + \frac{ - b}{b} + \frac{ - c}{c} + 3 = 0 \\ \\ - 1 - 1 - 1 + 3 = 0 \\ \\ - 3 + 3 = 0 \\ \\ \boxed{0 = 0}$

2)

$\boxed{a {}^{3} + b {}^{3} + c {}^{3} = 3abc}$

$a + b + c = 0 \\ \\ \boxed{a = - b - c}$

$( - b - c) {}^{3} + b {}^{3} + c {}^{3} = 3( - b - c)bc \\ \\ ( - b - c).( - b - c).( - b - c) + b {}^{3} + c {}^{3} = 3( - b - c)bc \\ \\ - b.( - b) - c.( - b) - c.( - b) - c.( - c) .( - b - c)+ b {}^{3} + c {}^{3} = 3( - b - c) \\ \\ b {}^{2} + bc + bc + c {}^{2} .( - b - c) + b {}^{3} + c {}^{3} = 3.( - b - c).bc \\ \\ b {}^{2} + 2bc + c {}^{2} .( - b - c) + b {}^{3} + c {}^{3} = 3( - b - c).bc \\ \\ - b.b {}^{2} + b {}^{2} .( - c) + 2bc.( - b) + 2bc( - c) + c {}^{2} . ( - b) + c {}^{2} .( - c) + b {}^{3} + c {}^{3} = 3.( - b - c).bc \\ \\ - b {}^{3} - b {}^{2} c - 2b {}^{2} c - 2bc {}^{2} - c {}^{2} b - c {}^{3} + b {}^{3} + c {}^{3} = 3.( - b - c)bc \\ \\ - 3b {}^{2} c - 3bc {}^{2} = 3.( - b - c).b.c \\ \\ - 3b {}^{2} c - 3bc {}^{2} = ( - 3b - 3c).bc \\ \\ \boxed{- 3b {}^{2} c - 3bc {}^{2} = - 3b {}^{2} c - 3bc {}^{2} }$