1. (Prefeitura Municipal de Canavieira – 2015). Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso. * 1 ponto Imagem sem legenda a) V V V V b) F F V V c) V V F F d) F F F F
2. Na figura a seguir está evidenciada, através de setas, uma relação entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B. A respeito desta relação é correto afirmar que: * 1 ponto Imagem sem legenda a) não é uma função. b) é uma função que não é injetora nem sobrejetora. c) é uma função injetora, mas não sobrejetora. d) é uma função sobrejetora, mas não injetora.
Soluções para a tarefa
Utilizando conceitos e definições de função, sabemos que:
1) F , F , V , V
2) Não é função, letra A.
Explicação passo-a-passo:
Para entendermos esta questão vamos discutir alguns conceitos primeiramente:
- Função: Esta é uma regra que liga valores de um cojunto a outro.
- Domínio: Este é o conjunto de onde vem os valores de um função, ou seja, os valores que fornecemos a esta.
- Contra-Domínio: Este é o conjunto para onde vão os valores transformados pela função, ou seja, os valores que obtemos depois de aplicar a função.
- Imagem: Este é um conjunto que está contido dentro do Contra-Domínio, que contem somente os valores que podem ser obtidos pela função dado um domínio, basicamente para diferenciar, Contra-Domínio pode ter valores que nunca são usados pela função, mas a Imagem são somente os valores usados.
Além destas definições, sabemos também que uma função obrigatoriamente tem que ligar todos os valores de um domínio até um contra-domínio, não pode haver um valor que não é aplicado a função dentro domínio. Também não podemos ter um valor do Domínio que se liga a mais de um valor de Imagem, ou seja, cada função quando aplicada deve ser única.
Além destas definições podemos classificar funções em tipos:
- Injetora: Estas são funções onde todos os membros do Contra-Domínio são ligados a um único membro do Domínio, ou seja, não pode ter dois valores do Domínio que leval ao mesmo valor de Imagem.
- Sobrejetora: Estas são funções cuja Imagem é igual ao Contra-Domínio, ou seja, todos os membros do Contra-Domínio são utilizados pela função.
- Bijetora: E por fim, estas são funções que são Injetoras e Sobrejetoras simultaneamente.
Com estes conceitos podemos analisar as questões:
1)
I: Falso, como vimos acima, Bijetoras são funções de um caso específico.
II: Falso, este é a descrição de um função Injetora e não Sobrejetora.
III: Verdadeiro, note que se um função liga cada ponto de dois conjuntos um a um (injetora), e ela pega todos os pontos do conjunto para onde foi (sobrejetora) ela não faz diferença de qual conjunto você vem e para qual você vai, pois estas definições valem para os dois lado.
IV: Verdadeiro, esta é a exata definição dada para uma função sobrejetora.
2)
Só com a definição acima já vemos que o caso da figura em anexo não pode ser um função, pois note que o conjunto A é exatamente o domínio, pois é de onde vem os valores, e note que neste tem o número 5 que é deixado sem ser ligado ao contra-domínio, quebrando assim a primeira regra estabelecida para ser função, portanto a resposta certa é letra A.
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1)b) F F V V; Apenas as afirmações III e VI são Verdadeiras, III - Toda função bijetora admite inversa e VI - Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora
2)d) Sobre a relação entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B podemos afirmar que, é uma função sobrejetora, mas não injetora.
Domínio e Imagem
- Domínio são os valores de entrada da função, ou seja, o domínio são os valores que x pode assumir.
- Imagem são os valores de saída da função, ou seja, a imagem são os valores que y pode assumir
Tipos de Função
Uma função pode ser:
- Injetora - os elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes, ou seja, cada domínio apresenta apenas uma imagem.
- Sobrejetora - quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio, ou seja, todos os elementos do contradomínio tem correspondente no domínio
- Bijetora - uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora
- Inversa - Se a função é considerada bijetora então ela admite inversa, ou seja, a imagem/contradomínio se torna domínio e o domínio se torna imagem/contradomínio.
1) Analisando as afirmações conforme dados acima:
- I - Toda função injetora é bijetora
FALSO, toda função bijetora é injetora, mas o contrário não é verdadeiro
- II - Quando elementos diferentes geram imagens diferentes, temos uma função sobrejetora
FALSO, elementos diferentes geram imagens diferentes nas funções injetoras.
- III - Toda função bijetora admite inversa
Verdadeiro, Se a função é considerada bijetora então ela admite inversa.
- VI - Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora
Verdadeiro, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio é função sobrejetora
Alternativa b) F F V V
2) Dados:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- B = {-2, 0, 1, 5}
Temos:
- Im = {-2, 0, 1, 5}
- Dom = {1, 2, 3, 4, 5}
- Contra domínio = {-2, 0, 1, 5}
Portanto a função é:
- Injetora - os elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes:
FALSO, 5 não possui imagem
- Sobrejetora - quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio
VERDADEIRO
Im = Contra domínio
{-2, 0, 1, 5} = {-2, 0, 1, 5}
- Bijetora - uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora
FALSO, a função não é injetora
- Inversa - Se a função é considerada bijetora então ela admite inversa
FALSO, a função não é bijetora
Analisando as alternativas:
- a) não é uma função.
FALSO, é função
- b) é uma função que não é injetora nem sobrejetora.
FALSO, é sobrejetora
- c) é uma função injetora, mas não sobrejetora.
FALSO, é sobrejetora
- d) é uma função sobrejetora, mas não injetora.
VERDADEIRO, é sobrejetora
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Bons Estudos!
