Question

1) Por translação dos eixos coordenados à nova origem (-2,0), seguida pela rotação dos eixos de um ângulo de $\frac{\pi}{3}$, a equação de um certo lugar geométrico é transformado em $x^2-2y^2=2$. Determinar a equação do lugar geométrico em relação aos eixos originais.

Answer 1

Resposta:  $\big(x+\sqrt{3}\,y+2\big)^2-2\cdot \big(\!-\!\sqrt{3}\,x+y-2\sqrt{3}\big)^2=8.$

Explicação passo a passo:

Translação de eixos para a nova origem:

    $O'(-2,\,0)\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}h=-2\\ k=0 \end{cases}$

Rotação dos eixos a um ângulo $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ no sentido anti-horário.

    $\theta=\dfrac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}~\cos\theta=\dfrac{1}{2}\\\\ ~\mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Após estas transformações, a equação o lugar geométrico no novo sistema de coordenadas é $x'O'y'$ é $x'^2-2y'^2=2.$

Para determinar a equação do lugar geométrico no sistema de coordenadas original $xOy,$ usamos a relação de transformação abaixo:

    $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta& \mathrm{sen\,}\theta\\ -\,\mathrm{sen\,}\theta&\cos \theta\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x-h\\y-k\end{bmatrix}$

    $\Longleftrightarrow\quad\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ -\,\frac{\sqrt{3}}{2} &\frac{1}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x-(-2)\\y-0\end{bmatrix}$

    $\Longleftrightarrow\quad\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\cdot \begin{bmatrix}1&\sqrt{3}\\ -\,\sqrt{3}&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x+2\\y\end{bmatrix}$

    $\Longleftrightarrow\quad\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\cdot \begin{bmatrix}1\cdot (x+2)+\sqrt{3}\cdot y\\ -\,\sqrt{3}\cdot (x+2)+1\cdot y\end{bmatrix}$

    $\Longleftrightarrow\quad \begin{\bmatrix}x'\\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{rcrcr}x&\!\!\!+\!\!\!&\sqrt{3}\,y&\!\!\!+\!\!\!&2\\\\-\,\sqrt{3}\,x&\!\!\!+\!\!\!&y&\!\!\!-\!\!\!&2\sqrt{3}\end{array}\right]\\\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{cases}~x'=\dfrac{1}{2}\cdot \big(x+\sqrt{3}\,y+2\big)\\\\ ~y'=\dfrac{1}{2}\cdot \big(\!-\!\sqrt{3}\,x+y-2\sqrt{3}\big) \end{cases}$

Substituindo na equação, obtemos

    $\Longrightarrow\quad \left(\frac{1}{2}\cdot \big(x+\sqrt{3}\,y+2\big) \right )^{\!2}-2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \big(\!-\!\sqrt{3}\,x+y-2\sqrt{3}\big) \right )^{\!2}=2\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{4}\cdot \big(x+\sqrt{3}\,y+2\big)^2-2\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \big(\!-\!\sqrt{3}\,x+y-2\sqrt{3}\big)^2=2$

Multiplicando ambos os lados por 4, obtemos

    $\Longleftrightarrow\quad \big(x+\sqrt{3}\,y+2\big)^2-2\cdot \big(\!-\!\sqrt{3}\,x+y-2\sqrt{3}\big)^2=8\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!