Question

1) Por definição, uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. Desse modo, encontre a função que é uma primitiva de:

f(x)= xe^-4x

Answer 1

Seja $f(x)=x.e^{-4x}$.

Para calcular uma primitiva de f precisamos integrar a função:

$\int x.e^{-4x} dx$.

Para calcular a integral acima, utilizaremos o método de integração por partes.

Lembrando que: na integração por partes, a integral é igual a

∫udv = uv - ∫vdu.

Sendo assim, considere que:

u = x → du = dx

dv = $e^{-4x}$ → v = $-\frac{e^{-4x}}{4}$.

Logo,

$\int xe^{-4x}dx = -x.\frac{e^{-4x}}{4}+\frac{1}{4}\int e^{-4x}dx$

$\int xe^{-4x}dx = -x.\frac{e^{-4x}}{4} + \frac{1}{4}(-\frac{e^{-4x}}{4})+c$

$\int xe^{-4x}dx = -x.\frac{e^{-4x}}{4} - \frac{e^{-4x}}{16}+c$.

Portanto, uma primitiva para a função f é:

$F(x)=-\frac{xe^{-4x}}{4}-\frac{e^{-4x}}{16}$.